高中数学必修内容训练试题（15）—探索性问题
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1 集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}，f是A到B的映射，且满足条件
f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射共有（ ）
A 6个
B 7个
C 8个
D 9个
2 在△ABC中，sinA>sinB是A>B成立的（ ）
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
3 直线
x4?y3?1与椭圆
x216?y29?1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面
积等于3，这样的点P共有 （ ） A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
4 设数集M??xm?x?m?????3?1,N?xn??x?n???，且M、N都是集合4?3???N?x0?x?1?的子集，如果把b?a叫做集合?xa?x?b?的“长度”，那么集合M的“长度”的最小值是（ ） A
13 B
23 C
112 D
512
5 PQ是异面直线a，b的公垂线，a?b，A?a，B?b，C在线段PQ上（异于P,Q），则?ABC
的形状是（ ）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形 D 三角形不定
6 用一张钢板制作一容积为4m的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有四种不同的规
3格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是（ ） A 2×5
B 2×5 5
C 2×6 1
D 3×5
7 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示
二进制数,将它转换成十进制形式是1×2+1×2+0×2+1×2=13，那么将二进制数（11?11）2（2004个1）转换成十进制形式是（ ） A 22004－2
3210
B 22003－2
C 22004－1
D 22003－1
8 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,?的第1000项的值是（ ）
A 42
B 45
C 48
D 51
9 在(1+x)2+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n－10的（ ）
A 第2项
B 第11项
C 第20项
D 第24项
10 已知集合A={x|x2－2x－3>0},B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3，4]则有（ ）
A a=3,b=4
B a=3,b=－4
C a=－3,b=4
D a=－3,b=－4
11 不等式a2?x2<2x+a(a>0)的解集是（ ）
A {x|x>0或x< －
54a} B {x| －
a2 D {x|－a≤x< － a或0 12 椭圆 x24?y23?1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角， 使A1点的平面B1A2B2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为（ ） A 30° B 45° C 60° D 75° 二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13 已知定点A(－2，3),F是椭圆 x216+ y212=1的右焦点，点M在椭圆上移动，则当|AM|+ 2 n 2 2n 2|MF|取最小值时，点M的坐标是 14 若(x－ 2 1x)的 展开式中含x的项为第6项，设(1－x+2x)=a0+a1x+a2x+?+a2nx,则 n a1+a2+a3+?+a2n= 15 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 已知数列{an}是等和数 列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为______________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________________ 16 定义集合A和B的运算：A?B??xx?A,且x?B? 试写出含有集合运算符号 “?”、“?”、“?”，并对任意集合A和B都成立的一个等式：_______________ 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 17 （本小题满分12分）已知函数f(x)?x?k2?k?2?k?Z?，且f(2)?f(3) （1）求k的值； （2）试判断是否存在正数p，使函数g(x)?1?p?f(x)??2p?1?x在区间??1,2?上 ??17? 若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由 8??的值域为?4,? 18 （本小题满分12分）已知函数f(x)=(x－a)(x－b)(x－c) （1）求证：f′(x)=(x－a)(x－b)＋(x－a) (x－c)＋(x－b) (x－c)； （2）若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由 19 （本小题满分12分）已知奇函数f?x?的定义域为全体实数，且当x?0时， f'?x??0o??s，问是否存在这样的实 ??数??2???，使得 f?c?2??f3???4?对所有的co?s??0,??2?f?均成立？若存在，则0求出所有适合条件的实数?；若不存在，试说明理由 20 （本小题满分12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，且b,a,c成 等差数列，b≥c，已知B(－1,0),C(1,0)。 （1）求顶点A的轨迹L； （2）是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q，且|PQ|恰好等于 原点到直线m的距离的倒数？若存在，求出m的方程，若不存在，说明理由 0 21 （本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=60，PA=AC=a， PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1 （1）证明PA⊥平面ABCD； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角?的大小； （3）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论 PEABCD