专题检测（八） 排列与组合、二项式定理
一、选择题
1．设M，N是两个非空集合，定义M?N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0,1,2,3}，Q＝{1,2,3,4,5}，则P?Q中元素的个数是( )
A．4 C．20
B．9 D．24
解析：选C 依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素．
2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224 C．56
B．112 D．28
解析：选B 根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有C8C4＝112种．
3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)的展开式中含x的项为( ) A．－15x C．－20ix
44
6
4
21
B．15x D．20ix
r6－rr4
4
解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝C6xi，由6－r＝4，得r＝2.故T3＝C6xi＝－15x.
2424
4．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有( )
A．12种 C．36种
B．24种 D．72种
2
解析：选C 由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C4＝6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A3＝6(种)情况，所以共有6×6＝36(种)不同的报名方法．
3
?1?n2
5．在二项式?x－?的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x项的系
?
x?
数是( )
A．－56 C．35
B．－35 D．56
解析：选A 因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以
8－r－1rrr8－2rn＝8，所以二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr(－x)＝(－1)C8x，令8－2r＝2得r8x＝3，所以展开式中含x项的系数是(－1)C8＝－56.
1
233
?1?1026
6．若(x－a)?x＋?的展开式中x的系数为30，则a等于( )
?
x?
1A. 3C．1
1B． 2D．2
?1?10?1?rr10－r解析：选D 依题意，注意到?x＋?的展开式的通项公式是Tr＋1＝C10·x·??＝
xx?
?
??
C10·xr10－2r?1?104632
，?x＋?的展开式中含x(当r＝3时)、x(当r＝2时)项的系数分别为C10、C10，?
x?
3
2
因此由题意得C10－aC10＝120－45a＝30，由此解得a＝2.
7．已知(x＋2)＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)＋…＋a15(1－x)，则a13的值为( ) A．945 C．1 024
15
15
2
15
B．－945 D．－1 024
15
2
15
解析：选B 由(x＋2)＝[3－(1－x)]＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)＋…＋a15(1－x)，得T14＝T13＋1＝C153·(－1)(1－x)，∴a13＝C15×3×(－1)＝－945.
8．(2017·郑州第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )
A．72 C．192
B．120 D．240
132
13
13
13
2
13
解析：选D 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数．(1)5×4×3×2×1
若末位数字为2，因为含有2个4，所以有＝60种情况；(2)若末位数字为6，
25×4×3×2×1同理有＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有
25×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．
9．若(1－2x)A．2 C．－1
2 017
＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2 017x22 017
，则＋2＋…＋2 017的值为( )
222
a1a2a2 017
B．0 D．－2
解析：选C 当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1. 1a1a2a2 017
当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋2＋…＋2 017，
2222∴0＝1＋＋2＋…＋2 017. 222即＋2＋…＋2 017＝－1. 222
2
a1a2a2 017
a1a2a2 017
10．(2017·石家庄质检)若a＝2的幂指数不是整数的项共有( )
?
3
－3
?x－1??a的展开式中，x (x＋|x|)dx，则在?3??x??
A．13项 C．15项
解析：选C 因为a＝2
B．14项 D．16项
?
3
－3
3? (x＋|x|)dx＝2??0x＋xx＋
?0?3x－xx?＝
?
2x
2
|
3
0＝18，所以该二项展开式的通项Tr＋1＝C(x)r18
18－r5r?－1?9－??r＝(－1)rCr6 18x?3x???
(0≤r≤18，且r∈N)，当r＝0,6,12,18时，展开式中x的幂指数为整数，所以该二项展开式中x的幂指数不是整数的项有19－4＝15项．
11．某项科技实验中，要先后实验8个程序，其中程序A和B在实施时必须相邻，且程序C只能出现在第一或最后一步，则该项实验顺序的编排方法种数为( )
A．720 C．2 880
1
B．1 440 D．3 600
解析：选C 第一步，程序C有C2种不同的安排方法；第二步，将A和B看成一个程序与其他5个程序全排列，有A6种不同的安排方法；第三步，安排A和B的顺序，有A2种不同的安排方法，根据分步乘法计数原理，知不同的安排方法共有C2A6A2＝2 880(种)．
12．已知(3x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋…＋anx(n∈N)，设(3x－1)展开式的二项式系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an(n∈N)，则Sn与Tn的大小关系是( )
A．Sn>Tn B．Sn C．n为奇数时，Sn 解析：选C 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＝Sn，令x＝0，得a0＝(－1)，所以 nn* 162 6 2 n23n*nTn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn－a0＝2n－(－1)n，所以当n为偶数时，Tn＝Sn－1 数时，Tn＝Sn＋1>Sn. 二、填空题 13．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种． 解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A4＝72种涂色法；若1,3同色，有C4 C3A2＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法． 答案：96 3 12 4 1 14．(a＋x)(1＋x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 解析：设(a＋x)(1＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x. 令x＝1，得(a＋1)×2＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. 44 2 3 4 5 4 ① ② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3. 答案：3 15．(2017·东北四市模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法．(用数字作答) 解析：电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C4种选法，2张票分给甲、乙，共有A2种分法，其余3张票分给其他3个人，共有A3种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有C4A2A3＝48种分法． 答案：48 16．计算Cn＋2Cn＋3Cn＋…＋nCn可采用以下方法： 构造等式：Cn＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＝(1＋x)，两边对x求导得Cn＋2Cnx＋3Cnx＋…＋ n－1n－1123nn－1 nCn＝n(1＋x)，在上式中令x＝1得Cn＋2Cn＋3Cn＋…＋nCn＝n·2，类比上述计算方nx0 1 22 1 2 3 1232 3 1 nnnn1232 法计算Cn＋2Cn＋3Cn＋…＋nCn＝______________. 解析：由题意得，构造等式：Cn＋2Cnx＋3Cnx＋…＋nCnx得Cnx＋2Cnx＋3Cnx＋…＋nCnx＝n·x·(1＋x)＋…＋nCnx2n2nn－1 1 22 33 1 2 32 122232nnn－1 ＝n(1＋x) n－1 ，两边同乘以x， 1 22 232 nnn－1 ，再两边对x求导，得到Cn＋2Cnx＋3Cnx1 22 23 ＝n(1＋x) n－2 n－1 ＋n(n－1)x·(1＋x) n－2 ，在上式中，令x＝1，得Cn＋2Cn＋3Cn＋… ＋nCn＝n(n＋1)2. n－2 答案：n(n＋1)2 4