习题一
3 设A,B,为二事件，化简下列事件：(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B
(2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B
4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。 p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024
kCn?mkCn5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。答案：1?6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组A?{a1,a2,a3,a4,a5};.
“至少有两只B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则C表示：
4配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有C5. 不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中
i4?i选4-i只，且编号不同，其可能选法为C5C5?i;(i?4,3,2,1,0)
4C531?C5C222?C5C34C10134?C5C4?C55??1?P(C)?1?P(C)?1?5?45?4?2??3?5?4?51322?
10?9?8?721?4?3?2?17在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过
11的概率。 答案： 558在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。 样本空间,0?x?a,0?y?a,构成三角形,须0?x?y?a，且 a?x?y??2?x?y?a?x?y?a???x?y?a?x?y,??x?2???y?x?a?x?y,?y?a?2?aa2a P?1 4a2 ax
1的概率。 49在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于
11?1(1?4x)dx11P(xy?)?4?(x?lnx)11414411111?1??ln4;P(xy?)??ln4444441 xy?14 14 1 x
10设A,B,为二事件，设P(A)?0.9,P(AB)?0.36,求P(AB).
1
解：0.9?P(A)?PA(B?B)?P(AB)?P(AB)?0.36?P(AB).故P(AB)?0.54. 11设A,B,为二事件，设P(B)?0.7,P(AB)?0.3,求P(A?B). 解： P(B)?0.7,P(AB)?0.3,?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4.
P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6.
12 设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7.（1）若AB互不相容,求P(B). 若AB互不相容,则P(A?B)?P(A)?P(B).P(B)?P(A?B)?P(A)?0.3 （2）若AB相互独立,求P(B).
若A与B相互独立，则P(B)?P(A?B)?P(A)?P(A)?P(B)?0,7?0.4?0.4P(B),P(B)?0.5
13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。 解 0.94
14某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。
解：A:订日报,B:订晚报. 0.85?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.65?P(AB)，
P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?1.15?0.85?0.3.
15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。
解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：p?10909???0.0909 10099995,求P(A?B). 816 设随机事件A,B,C两两独立,P(AB)?0,已知P(B)?2P(C)?0,且P(B?C)?P(B)?2P(C)351解:?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?P(B)?P2(B)8224P2(B)?12P(B)?5?0,?P(B)?12?641?P(B)?1221,2
0?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)?0.5,P(A)?0,P(A?B)?P(A)?P(B)?0?17 设A是小概率事件，即P(A)??是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A总会发生（以概率1发生）。
当试验不断地重复进行下去，事件A发生的概率为：
1?limPn(A)?1?lim[1?P(A)]n?1?lim(1??)n?1?0?1
n??n??n??18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,,111,求此秘密被译出的概率。
534解：以A,B,C分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D：表示密码被译出，则
2
P(D)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?4233? 534520 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障的概率。 解：P?1?0.9?0.8?0.7?1?0.504?0.496. 21设A,B,为二事件，设P(A)?0.7,P(B)?0.6,P(BA)?0.4,求P(A?B).
解：P(AB)?P(A)P(B/A)?0.4?0.6?0.123,P(AB)?P(B)?P(AB)?0.6?0.12?0.48,
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.7?0.48?0.82..
22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？
解：X:表动物寿命,P{X?25/X?20}?P{X?20，X?25}0.4??0.5
P{X?20}0.823某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已过
去了30年未发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。 X:发生特大洪水的时刻。
P{30?X?40}?X?30P{X?30,30?X?40}0.85?0.80.05???0.25
P{X?30}0.20.224 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙设甲袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，
再从乙袋中任意取一球。
（1）问取道白球的概率是多少？ （2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？
解：解：A: “首先从甲袋中取到白球” B:收到信号“然后从乙袋中取到白球.”; 由题设:P(A)?,13221P(BA)?,P(A)?,P(B/A)?于是:
33212215???? 3332912?P(A)P(B/A)332由贝叶斯公式有:P(A/B)???;
5P(B)59P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)?25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。 解：A,B分别表示第一次、第二次取得的是次品，则 P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)?211022221??????. 1211121112112626一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h以上的概率。
解：A1,A2,A3分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。B:抽出的一个能工作500h以上
P(B)??P(Ai)P(B/Ai)?i?139590480170???0.894
10010010010010010027 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85， （1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。
（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。
3
（1）A1,A2,A3分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。B:抽出的一个是次品 P(B)??P(Ai)P(B/Ai)?100100?100100?100100?0.035
i?13255354402（1）
255P(A1)P(B/A1)100100??0.362 由贝叶斯公式有:P(A1/B)?P(B)0.04528用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌
症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。
解：A1:“患癌症.” A2:“未患癌症”; B:“检查结果为阳性”; B:“结果是阴性” 由题设:P(A,1)?0.0005P(BA1)?0.95,P(A2)?0.9995,P(B/A2)?0.1于是:
P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?0.0005?0.95?0.9995?0.1?0.100425由贝叶斯公式
有:P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)0.000475??0.47299;
P(B)0.100425 29 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二
人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。
解：用Ai,表示第i人击中，i?1,2,3，则用Bi,表示恰有i人击中，i?0,1,2,3；
P(B0)?0.6?0.4?0.3?0.082,P(B1)?1?P(B0)?P(B2)?P(B3)?0.304;P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.6?0.6?0.7?0.4?0.4?0.7?0.4?0.6?0.3?0.446, P(B3)?0.4?0.6?0.7?0.168B:表示敌机被击落，则
3P(B)??P(Bi)P(B/Bi)?0.304?0.2?0.446?0.6?0.168?1?0.4962P(B3/B)?0.4962?0.338
i?00.16830 某厂产品有70％不需调试即可出厂，另30％需经调试，调试后有80％，能出厂，求： （1）该厂产品能出厂的概率。（2）任取一出厂产品未经调试的概率。
解：A1: “任取一产品，.不需调试即可出厂” A2:“任取一产品，调试后能出厂”; B1:“任取一产品，能出厂.”; B2:“任取一产品，不能出厂” 由题设:P(A1)?0.7,P(B1A1)?1,P(A2)?0.3,P(B1/A2)?0.8于是:
P(B1)?P(A1)P(B1/A1)?P(A2)P(B1/A2)?0.7?1?0.3?0.8?0.94
由贝叶斯公式有:P(A1/B1)?P(A1)P(B1/A1)0.770; ??P(B1)0.949431 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是p,求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。
解：X:表示试验成功2次时的试验次数，
X=5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。
4
1323
P?[C1p(1?p)]p?4p(1?p).432 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n次才取出k(1?k?n)次红球的概率。
1k?19n?k1k?1k?19n?r1kCn?1()()?Cn() ?1()101010101033灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。 记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}
X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X～b(3,0.8)
01P(X?1)?C30.80?0.23?C30.8?0.22?0.23?3?0.23?4?13?0.23?0.104
34某人有两盒火柴，每盒中各有n根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，
1n试求另一盒还有r根的概率。 C2n?r2n?r
2注：可看作2n?r重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为了第二盒中一根火柴的概率也为
1，取21，设所求事件为B，则B相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n21n1n?r1nn根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了n?r根火柴，”的事件，故P(B)?C2()()?Cn?r2n?r2n?r
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习题二 38页
1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。
解：样本空间??{tt?0},用X表示灯泡的寿命（h）X?X(t)?t是随机变量。
2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 {报童赔钱}={0.15X<100}, X?10010?666?X?666 0.15153 若P{X?x2}?1??,P{X?x1}?1??,其中x1?x2,求P{x1?X?x2} 解：P{x1?X?x2}?P{X?x2}?P{X?x1}?1????,
?0,X?0131?4 设随机变量X的分布函数F(x)??x2,0?x?1，试求（1）P{X?}(2)P{?1?X?},(3)P{X?}
242?1,x?1?111(1)P{X?}?F()?224339113(2)P{?1?X?}?F()?F(?1)?;,(3)P{X?}?1?P{X?}?
44162245 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，
求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。
解：X表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则X的可能取值为0.1，2。
P{X?0}?30C3C23C521C3C26611???0.6, ???0.1,P{X?1}?35?45?41010C522 5