圆周运动的三种模型
一、圆锥摆模型：
如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成θ 角，对小球受力分析，
正交分法解 得：竖直方向： 水平方向：FX= 最终得 F合= 。用力的合成法得F合= 。半径r= ，圆周运动F向= = ， 由F合=F向可得V= ，ω=
圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。分析方法同样适用自行车，
摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中 θ （小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。（小球的半径远小于 R）
2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。求（取g＝10m/s2，结果可用根式表示）： （1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？
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二．轻绳模型
（一）轻绳模型的特点： 1. 轻绳的质量和重力不计；
2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力； （二）轻绳模型在圆周运动中的应用
小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：
1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： = ，v临界 = 2. 小球能通过最高点的条件： v v临界（此时，绳子对球产生 力）
3. 不能通过最高点的条件： v v临界 （实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 练习：
质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ） A . 0 B. mg C .3mg D 5mg
三．轻杆模型：
(一)轻杆模型的特点： 1.轻杆的质量和重力不计；
2.能产生和承受各方向的拉力和压力 (二)轻杆模型在圆周运动中的应用
轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况： 1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N= （ N为 力） 2. 当 =mv临界R2（ 轻杆对小球的作用力N= 0 ），v临界?gR
3 当
v2（即0 Rv2（即v>v临界）时，有 =m（轻杆对小球的作用力N为 力） R4 当 练习： 半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ） A. 外轨道受到24N的压力 B. 外轨道受到6N的压力 C. 内轨道受到24N 的压力 D. 内轨道受到 6N的压力 第2页 一．轻绳模型 （一）轻绳模型的特点： 1. 轻绳的质量和重力不计； 2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力； （二）轻绳模型在圆周运动中的应用 小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题： 1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： （当 时，绳子对球产生拉力） 2. 小球能通过最高点的条件：3. 不能通过最高点的条件： （实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道） 例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ） A . 0 B. mg C .3mg D 5mg 分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型 当小球经过最高点的临界速度为v ，则 当小球以 2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则 因为 所以 根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是 ，故选 c. 二．轻杆模型： (一)轻杆模型的特点： 第3页 1.轻杆的质量和重力不计； 2.能产生和承受各方向的拉力和压力 (二)轻杆模型在圆周运动中的应用 轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况： 1. 小球能通过最高点的临界条件：v=0 ，N=mg （ N为支持力） 2. 当 时，有 （ N为支持力） 3 当 时，有 （N=0 ） 4 当 时，有 （N 为拉力） 例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ） A. 外轨道受到24N的压力 B. 外轨道受到6N的压力 C. 内轨道受到24N 的压力 D. 内轨道受到 6N的压力 分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型： 当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有 则， = >2m/s 所以，内轨道对小球有向上的支持力 ，则有 代入数值得： N=6N 根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选 D 三．圆锥摆模型： 圆锥摆模型在圆周运动中的应用： 第4页 如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆线与竖直方向成θ 角，则 分析：摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得： 圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。 例：小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中 θ （小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。（小球的半径远小于 R） 分析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上，向心力是重力和支持力的合力，所以是一个圆锥摆模型，则： 由此可得： 本题是一个圆锥摆模型，分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。 在物理学中建立模型，都是要突出主要矛盾，屏弃次要矛盾，对客观事物抽象化和理想化。同一个客观事物，在不同的情况下，可以抽象为不同的物理模型，一般，建立什么物理模型，必须根据问题的要求，条件而定。 第5页 第6页