K单元 概率
目录
K单元 概率 1 K1 随事件的概率 1 K2 古典概型 1 K3 几何概型 8
K4 互斥事件有一个发生的概率 14 K5 相互对立事件同时发生的概率 14 K6 离散型随机变量及其分布列 14 K7 条件概率与事件的独立性 21
K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 21 K9 单元综合 25
K1 随事件的概率
K2 古典概型
【数学（理）卷·2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】16．（本小题满分12分）
口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．
（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；
（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X)． 【知识点】古典概型，分布列 K2 K6
1【答案】【解析】（Ⅰ）5 （Ⅱ）X的分布列为:
X P 0 15 1 35 2 15 131EX?0??1??2??1555 X的数学期望
（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A，则
21C2?C441P(A)???3C6205．????????????????????4分
（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2，则
1
3C441P(X?0)?3??C205?????????????????????2分 6
12C2?C4123P(X?1)???3C6205 ???????????????????2分
1P(X?2)?P(A)?5 ????????????????????2分
∴X的分布列为
∴
X P 0 15 1 35 2 15 X131EX?0??1??2??1555的数学期望．????????????2分
【思路点拨】）X的可能取值为0,1,2，再分别求出P(X?0)，P(X?1)，P(X?2) 即可.
【【名校精品解析系列】数学（文）卷·2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】18．（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损． （Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．I2 K2
2【答案】【解析】（Ⅰ）9；（Ⅱ）5
解析：(1)
x?158?162?163?168?168?170?171?179?a?18210 ……………2分
?170………………4分
解得a=179 所以污损处是9.………………6分
2
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分
而事件A含有4个基本事件，………………10分 42
∴P(A)＝＝………………12分
105
【思路点拨】（Ⅰ）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率． 【【名校精品解析系列】数学（文）卷·2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】18．（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损． （Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被抽中的概率．
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．I2 K2
2【答案】【解析】（Ⅰ）9；（Ⅱ）5
解析：(1)
x?158?162?163?168?168?170?171?179?a?18210 ……………2分
?170………………4分
解得a=179 所以污损处是9.………………6分
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分
而事件A含有4个基本事件，………………10分 42
∴P(A)＝＝………………12分
105
【思路点拨】（Ⅰ）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进
3
而可得身高为176cm的同学被抽中的概率． 【【名校精品解析系列】数学理卷·2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】12．已知k?Z, AB?(k, 1), AC?(2,4), 若|AB|?4, 则?ABC是直角三角形的概率是 ▲ 。
【知识点】向量的坐标运算 古典概型 F2 K2
3AB?k2?1?4?k2?15【答案】7【解析】解析：因为，又因为k?Z，所以
k???3,?2,?1,0,1,2,?3BC?AC?AB??2?k,3?，在ABC中，若为直角三角形可得
AC.AB?0,AB.BC?0,AC.BC?0,k??2,k?3,k??1,k?8，满足条件的有3个，所33以所求概率为7.故答案为7.
【思路点拨】根据
AB?k2?1?4?k2?15求得k的集合为
k???3,?2,?1,0,1,2,3?共
有7个元素，根据直角三角形可得AC.AB?0,AB.BC?0,AC.BC?0,求得满足条件的k有3个，即可得所求概率. 【【名校精品解析系列】数学理卷·2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(19)（本小题满分12分）
已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：
该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：
4
(1)某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率； (2)从该景区3月份游客人数低于10 000人的天数中随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为?，求?的分布列及数学期望
【知识点】古典概型；离散型随机变量分布列；数学期望. K2 K6 K8
2【答案】【解析】（1）15；（2）
，
E????1516.
解析：(1)记“这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件A ,此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以
P(A)?42?3015.
（2）由题意知?的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16
，
其
中
游
客
拥
挤
等
级
为
优
的
天
数
为
5
，
所
以
213C11CC113355P(??0)?3?,P(??1)?35?C16112C16112
13C11C5211C51P(??2)?3?,P(??3)?3?C1656C1656,所以?的分布列为：
E(?)?0?故
335511115?1??2??3??112112565616.
【思路点拨】（1）此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇
42?到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以所求概率为3015；（2）由题意得?的可能
取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，根据组合数公式求得?取每个值的概率，从而写出?的分布列，进一步求得?的期望.
【【名校精品解析系列】数学文卷·2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】18．为丰富课余生活，某班开展了一次有奖知识竞赛，在竞赛后把成绩（满分为100分，分数均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：
5