2010～2011（一） 物理07量子力学补考试题及答案第 1 页 共 8 页
阅卷人 题号
一
一、填空题（每题4分，共4???20分）：
1. 当波函数?(r,t)是由本征态?n的叠加而成的，如下式
得分 ?(r,t)??CE?E(r)e?iEt/?
E
?n是能量本征值En(n?1,2,3,?)的本征态。则测量能量的结果得到某个能量本征值En的
概率为 ，且
?Cn2n? 。
2. 非束缚态与束缚态能级的区别在于：非束缚态能级是 谱； 而束缚态能级是
谱。
3. 经典力学中物质运动的状态用坐标、动量、角动量、等力学量以决定论的方式描述。而
量子力学以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但波函数并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念—— ，用它表示量子力学中的 。 4. 体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为 ；在任何状态下平均值均为
实的算符必为 算符。 厄米算符的本征值必为 。； 厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此 。
?与H对易，则无论体系处于什么5. 对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量A?的 及其 分布均不随时间改变。?称状态（定态或非定态），A所以把A为量子体系的一个守恒量。
阅卷人 题号 得分
二
二、论证与说明题：（每题10分，共10???20分）
d的论证过程。 dx7. 对应于氢原子中电子轨道运动，试说明n?3时氢原子可能具有的轨道角动量及能级简?x??i?6. 请完整地给出动量算符p并度情况。
阅卷人 题号 三 得分
三、证明题（每题10分，共10???20分）：
??L??iL?,L??L??iL? 8. 定义角动量升降阶算符：L?xy?xy? ?,L?]???L证明：[L?z?9. 求证在lz的本征态下lx?ly?0
1
2010～2011（一） 物理07量子力学补考试题及答案第 2 页 共 8 页
阅卷人 题号 四 得分
四、计算题：（每题10分，共10???40分）
10. 作一微运动的粒子被束缚在0
试求：（1）常数 A；
（2）粒子在0～ a/2区域出现的概率； （3）粒子在何处出现的概率最大？
L211. 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此对
2I应的量子体系在转子绕一固定轴转动情况下的定态能量及波函数并讨论什么情况下能级简并。
12. 设氢原子处于状态
?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?),22
求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量
的平均值。
13. 一电荷为 -e 的质量为μ的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向，用微
(1)
扰法求体系的定态一级波函数修正|ψn>
已知无外电场作用时线性谐振子的本征函数和本征值分别为：
(0)?n?Nne??2x2/2Hn(?x)Nn????????2n!n
(0)En???(n?12)n?0,1,2,??1线性谐振子本征函数的递推公式：x?n?
[n2?n?1?n?12?n?1]
2
2010～2011（一） 物理07量子力学补考试题及答案第 3 页 共 8 页
阅卷人 题号 得分 一
一、填空题（每题4分，共4???20分）： 1. 概率为Cn，且
2?Cn?1。
n22. 非束缚态能级是 连续 谱； 而束缚态能级是 分粒 谱。
3. ——算符，用它表示量子力学中的力学量。 4. 体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；在任何状态下平均值均为实的算
符必为厄米算符。
厄米算符的本征值必为实。； 厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。 5.
?的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变。 A得分
二
二、论证与说明题：（每题10分，共10???20分） 阅卷人 题号 ?x??i?6. 请完整地给出动量算符p?d的论证过程。 dx解答：动量平均值应从动量p的概率分布里去求
px??px?????px|?(px)|2dpx????(px)px?(px)dpx
????2??1?(x)eipxx?dxpx?(px)dpx
1?2??1?2?????(x)e????ipxx?px?(px)dxdpx
id?pxx?(x)(?i?)e?(px)dxdpx ?dxd1??dx?(x)(?i?)[dx2??????(x)(?i??eipxx??(px)dpx]
d?x?(x)dx )?(x)dx????(x)pdxd?x??i? 所以pdx7. 对应于氢原子中电子轨道运动，试说明n?3时氢原子可能具有的轨道角动量及能级简
并度。
解：当n?3，l的可能取值为：0，1，2。
而轨道角动量L?l(l?1)?，所以L的取值为：0，2?，6?。 能级简并度fn?
n?1?(2l?1)?nl?02?9
3
2010～2011（一） 物理07量子力学补考试题及答案第 4 页 共 8 页
阅卷人 题号 三 得分
三、证明题（每题10分，共10???20分）：
??L??iL?,L??L??iL? 8. 定义角动量升降阶算符：L?xy?xy?,l?]??i?l?求证：[L? ?,L?]???L根据角动量对易式[l?z???????证明：
?,L?]?[L?,L??iL?][Lz?zxy?,L?]?i[L?,L?]?[Lzxzy??i(?i?L?)?i?Lyx??iL?)???L????(Lxy?证毕
9. 求证在lz的本征态下lx?ly?0 证明：角动量分量算符满足对易关系：
?l??l?l???il? lyzzyx两边同时取平均值，设Yim是lz本征态波函数，用标乘积运算符号：
(Yim,[l?yl?z?l?zl?y]Yim)??i(Yim,l?xYim)?lx ?l?Y)?(Y,l?l?Y) 左式=(Yim,lyzimimzyim?Y)?(Y,l?l?Y)利用l的厄米性 ?(Yim,m?lzyimimzyim?Y)?(l?Y,l?Y) 左式?m?(Yim,lyimzimyim?Y)?m?(Y,l?Y)=0=右式 ?m?(Yim,lyimimyim即证明了lx?0
?l??l?l???il? 利用对易关系：lzxxzy可以类似的证明ly?0。
阅卷人 题号 四 得分
四、计算题：（每题10分，共10???40分）
4
2010～2011（一） 物理07量子力学补考试题及答案第 5 页 共 8 页
10. 解：（1）由归一化条件得（2）粒子的概率密度为
?a0A2sin2(?xa)dx?1，A?2 a?(x)?22?xsin2 aa2a22?x1sindx? ?0aa2在0
d?(x)dx
2?0，因为0
d?(?)2IE???(?)22d??2
令 m?2d2?(?)2 ?m?(?)?0 2d? 取其解为
?(?)?Aeim? (m可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有
?(??2?)??(?)?eim(??2?)?eim?
i2m? 即 e?1
∴m= 0，±1，±2，…
m2?2转子的定态能量为Em? (m= 0，±1，±2，…)
2I
5