1．2.3 直线与平面的位置关系
第一课时
一、基础过关
1． 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，
则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．
2． 过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面有____________个．
3． 过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直
线共有________条．
4． 经过直线外一点有______个平面与已知直线平行． 5． 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面是______________；
(2)与直线AA1平行的平面是_______________________________； (3)与直线AD平行的平面是______________．
6． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置
关系是____________．
7． 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1
的中点．
求证：EF∥平面BDD1B1.
8． 如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，
且PE∶EA＝BF∶FD. 求证：EF∥平面PBC. 二、能力提升
9． 设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示) 10．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是
下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP a＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝______. 3
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，
它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD ＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
12．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为
AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 三、探究与拓展
13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各
有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)
答案
1．平行 2.0,1或无数 3．12 4．无数
5．(1)平面A1C1和平面DC1 (2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1 6．平行
7．证明 取D1B1的中点O，连结OF，OB. ∵OF綊1
2B1C1，
BE綊1
2B1C1，
∴OF綊BE.
∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO. ∵EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1.
8．证明 连结AF延长交BC于G， 连结PG.
在?ABCD中，易证 △BFG∽△DFA. ∴
GFFA＝BFPEFD＝EA
， ∴EF∥PG.
而EF?平面PBC，PG?平面PBC， ∴EF∥平面PBC. 9．①②?③(或①③?②) 10.223a
11．m∶n
12．(1)证明 因为BC∥AD，AD?平面PAD，
BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.
(2)解 MN∥平面PAD.证明如下： 如图所示，取PD中点E，连结AE，EN. 1
又∵N为PC的中点，∴EN綊DC，
21
又∵AM綊DC，
2∴EN綊AM.
即四边形AMNE为平行四边形．
∴AE∥MN，又MN?平面PAD，AE?平面PAD.∴MN∥平面PAD.
13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB， ∴AE＝BD.又∵AP＝DQ，∴PE＝QB. 又∵PM∥AB∥QN， ∴
PMPEQNBQ
＝，＝.∴PM綊QN. ABAEDCBD
∴四边形PQNM是平行四边形． ∴PQ∥MN.
又MN?平面BCE，PQ?平面BCE， ∴PQ∥平面BCE.
方法二 如图(2)所示，连结AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连结EK. DQAQ
∵KB∥AD，∴＝. BQQK
∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE. ∴
DQAPAQAP
＝.∴＝.∴PQ∥EK. BQPEQKPE
又PQ?平面BCE，EK?平面BCE， ∴PQ∥平面BCE.
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