空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α α · L A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内. （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A B
α · C · 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
·
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
β α · L P 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b =>a∥c c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关为了简便点O一般取在两直线中的一条上； ?② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )2；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
1
a
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线 如图1：a??, A??, B??, B?a，那么直线AB与直线a是异面直线． 注意事项：
1．定义中的“任何”两字很重要，不能随便改成“不同在某一个平面内”． 2．反证法是证明两条直线异面的常用方法．
④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角
空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为0。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。
??a?,b?，形成两条相交直
?③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角‘叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与
2
已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
一、选择题
1、线段AB在平面?内，则直线AB与平面?的位置关系是 （ ）
A、AB?? B、AB?? C、由线段AB的长短而定 D、以上都不对 2、下列说法正确的是 （ ）
A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形
C、梯形一定是平面图形 D、平面?和平面?有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能 4、若直线l∥平面?，直线a??，则l与a的位置关系是 （ ）
A、l∥a B、l与a异面 C、l与a相交 D、l与a没有公共点
5、 a,b是两条异面直线， （ ） A．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一个平面与a，b都平行 B．过直线a且垂直于直线b的平面有且只有一个
C．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都平行 D．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都垂直 6. a、b是异面直线，下面四个命题：
①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至少有一条直线与a、b都垂直；④至少有一个平面分别与a、b都平行，其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．以下命题正确的是 （ ） A．两个平面可以只有一个交点
3
B．一条直线与一个平面最多有一个公共点 C．两个平面有一个公共点，它们可能相交
D．两个平面有三个公共点，它们一定重合
8．下面四个说法中，正确的个数为 （ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 （2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内 A．1 B．2
C．3
D．4 9．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 （ ）
A．α∥β
B．α与β相交 C．α与β重合
D．α∥β或α与β相交 10．两等角的一组对应边平行，则
（ ）
A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边也不可能垂直
D．以上都不对
11．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点， 则EF与α的关系是 （ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定 12．经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ） A．只有一个 B．至少有一个 C．可能没有 D．有无数个 13．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分
别是棱AD1
1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（ ） C1
AN
A. 92 B. 3
1
M B1 C. 65 D. 2
D
A
5A
B
二、填空题
1．已知直线a∥b，a、b?平面α，直线c与a异面，且b与c不相交，则c与α的位置关系是_______． 2. 已知直线m，n，平面?,?，给出下列命题：
①若m??,m??,则???；②若m//?,m//?,则?//?；
③若m??,m//?,则???；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直. 其中正确的命题的题号为
3. 设l、m、n是三条不同的直线，?、?、?是三个不同的平面，下面有四个命题： ①若l∥?,?∥?,则l∥?；
②若l∥n,m∥n,则l∥m；
③若???,l∥?,则l??； ④若l??,m??,???,则l?m.
其中假命题的题号为 4．下列四个命题：
①过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行 ②过直线外一点，有且只有一个平面与该直线平行
4
③过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行 ④过平面外一点，有无数多条直线与该平面平行 其中真命题为_____________（写出序号即可） 5．如图，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中，P是A1C1 D1 C1
P 上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满
A1 B1
足___________时，体积VP?AEB恒为定值（写上
你认为正确的一个答案即可）
D E
C A B
三、解答题
1、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域
E105xADOBCF2. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1= （Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D； （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小； （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.
33,D是CB延长线上一点，且BD=BC. 25