衡水中学高考复习专用高三数学跨越一本线精品
误区一：排列组合中分类、分步不当引起的失误
1.排列组合的源头是两个原理,在利用两个原理处理具体应用问题时,必须先分清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么,选择合理、简洁的标准处理事件,可以避免计数的重复或遗漏.运用分类加法计数原理时,要明确分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理．.运用分步乘法计数原理时,要确定分步的标准.分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步,即各个步骤是相互依存的,且“步”与“步”之间具有连续性. 对于既要运用分类加法计数原理,又要运用分步乘法计数原理的复杂问题,可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析,使问题的分析过程更直观、更明晰,便于探索规律. 2.解排列、组合题的基本方法
(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素,再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置,再考虑其他位置.
(2)正难则反排异法：有些问题,正面考虑情况复杂,可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉. (3)复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时,常常分成若干类,再由分类加法计数原理解决或分成若干步,再由分步乘法计数原理解决.在解题过程中,常常既要分类,也要分步,其原则是先分类,再分步. (4)相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法,即先安排好没有限制条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.
(5)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”作全排列,最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列.
(6)相同元素隔板法：将n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法,等价于将n个相同小球串成一串,从间隙里选m－1个结点,剪截成m段.这是针对相同元素的组合问题的一种方法.
(7)定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数. 4.解排列组合问题时应注意
(1)在解排列组合应用题时,常会遇到“至少”“至多”“含”等词,要仔细审题,理解其含义.
(2)关于几何图形的组合题目,一定要注意图形自身对其构成元素的限制,解决这类问题常用间接法(或排除法).
(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,是不可区分的,而后者则即使两组元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的.对于这类问题必须先分组后排列,若平均取法
分m组,则分法＝. m！一、至少问题
课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,至少有1名队长当选的选法有多少种？ 【错因】不恰当地采用分步计数：先选1名队长,再从剩下的人中选4人得C2·C12
【正解】至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有：C2·C11＋C2·C11＝825(种). 或采用间接法：C13－C11＝825(种).
【点评】①分类时不重不漏；②注意间接法的使用,在涉及“至多”“至少”等问题时,多考虑用分类方法或间接法(排除法)；③先选1名队长,再从剩下的人中选4人得C2·C12≠825,错误原因是重复计数,请同学们认真查找错因.
【小试牛刀】【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】把A,B,C,D四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且A,B两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）A．36种 B．30种 C．24种 D．18种 二、分组与分配问题 【例2】现有6本不同的书：
(1)甲、乙、丙三人每人两本,有多少种不同的分配方法？ (2)分成三堆,每堆2本,有多少种分堆方法？
(3)分成三堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种不同的分配方法？ (5)甲、乙、丙三人中,一人分4本,另两人每人分1本,有多少种不同的分配方法？【错因】①混淆分组与分配；②混淆均分与非均分
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【点评】平均分配给不同人的分法等于平均分组的分法乘以堆数的全排列.分组到位相当于分组后各组再全平均分堆到指定位置排列,平均分组不到指定位置,其分法数为：.对于分组与分配问题应注意：①处理分配
堆数的阶乘问题要注意先分组再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),位置也应是不
同的(如不同的“盒子”).③分组时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.
【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟（一）】将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 三、图形涂色问题 (一)平面区域涂色
【例3】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有 .
【错因】分类不准确. 由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．
【点评】解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．
【小试牛刀】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,?,9的9个小正方形,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.
（二）立体图形中点涂色问题
【例4】如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )