[课时作业] [A组 基础巩固]
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1，－?，则在点P的切线的倾斜角为( ) 1．已知曲线y＝x2－2上一点P?2??2A．30° B．45° C．135° limf?1＋Δx?－f?1?
解析：∵f ′(1)＝
ΔxΔx→01?1
?1＋Δx?2－2－??2－2? lim2
＝
ΔxΔx→0 lim?1
＝ ?2Δx＋1??＝1， Δx→0
∴k＝1.又∵k＝tan α＝1，∴α＝45°. 答案：B
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则( ) A．f ′(x0)>0 C．f ′(x)＝0
解析：由y＝－3x－5知f ′(x0)＝－3<0. 答案：B
3．设f(x)为可导函数且满足的切线斜率为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2 limf?1?－f?1－2x?解析：
－2x→02x limf?1－2x?－f?1?＝ －2x→0－2x limf[1＋?－2x?]－f?1?＝ －2x→0－2x＝f ′(1)＝－1. 答案：B
4．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( ) A．(－2，－8) C．(2,8)
解析：设点P的坐标为(x0，y0)， limf?x0＋Δx?－f?x0?则k＝f′(x0)＝
ΔxΔx→0
B．(－1，－1)或(1,1) 11
－，－? D.?8??2
limf?1?－f?1－2x?
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处
－2x→02x
B．f ′(x0)<0 D．f ′(x0)不存在 D．165°
lim?x0＋Δx?3－x30＝ ΔxΔx→0
lim2
＝ [(Δx)2＋3x20＋3x0·Δx]＝3x0. Δx→0
∵k＝3，∴3x20＝3，∴x0＝1或x0＝－1，∴y0＝1或y0＝－1. ∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)． 答案：B
5．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 C．9
B．－3 D．15
3
Δy?1＋Δx?＋11－12
解析：由导数的定义得＝＝3＋3Δx＋(Δx)2，则曲线在点P(1,12)处的切
ΔxΔx
lim
线斜率k＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，故切线方程为y－12＝3(x－1)，令x＝0，得y＝9.
Δx→0答案：C
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2 等于________．
解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2 ＝3.
答案：3 7.
如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f ′(2)＝________. 99解析：由题图可知切线方程为y＝－x＋，
82999
所以f(2)＝，f ′(2)＝－，所以f(2)＋f ′(2)＝.
4889
答案：
8
b
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
a解析：由导数的几何定义知y′|x＝1
lima?1＋Δx?2＋b－?a＋b? lim＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a＝2.
ΔxΔx→0Δx→0
b
∴a＝1，把切点(1,3)代入函数y＝ax2＋b得3＝a＋b，∴b＝3－a＝2，故＝2.
a答案：2
9．在抛物线y＝x2上求一点P，使在该点处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0.
解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则抛物线y＝x2在点P处的切线斜率为f ′(x0)＝
Δx→0?x0＋Δx?2－x20
＝2x0.
Δx
1
直线2x－6y＋5＝0的斜率为，
313
由题设知2x0·＝－1，解得x0＝－，
32399
－，?. 此时y0＝，所以点P的坐标为??24?4
11
－1，?. 10．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q?2??t－x(1)求曲线在点P、Q处的切线的斜率； (2)求曲线在P、Q处的切线方程． 解析：将P(2，－1)代入y＝1
∴y＝.
1－x
limf?x＋Δx?－f?x?
∴y′＝ ΔxΔx→011－ lim1－?x＋Δx?1－x＝
ΔxΔx→0 limΔx
＝ Δx→0[1－?x＋Δx?]?1－x?Δx lim11＝ ＝. Δx→0?1－x－Δx??1－x??1－x?21
(1)曲线在点P处切线的斜率为y′|x＝2 ＝＝1；
?1－2?21
曲线在点Q处切线的斜率为y′|x＝－1 ＝.
4
(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0. 曲线在点Q处的切线方程为 11
y－＝(x＋1)， 24即x－4y＋3＝0.
[B组 能力提升]
1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
1
，得t＝1， t－x
lim
解析：依题意，y＝f ′(x)在 [a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足． 答案：A
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1
B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
lim?x＋Δx?2＋a?x＋Δx?＋b－?x2＋ax＋b?
解析：y′＝ ΔxΔx→0
lim?2x＋a?Δx＋Δx2
＝ ＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y
ΔxΔx→0
??0＋a＝1，
＋1＝0，所以切线的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线上，于是有?解得
?0－b＋1＝0，???a＝1，
? ?b＝1.?
答案：A
3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________. 解析：由导数的定义可求得
limΔy lima?x＋Δx?2－ax2y′＝ ＝
ΔxΔx→0ΔxΔx→0 lim2ax·Δx＋a?Δx?2
＝ ＝2ax，
ΔxΔx→0所以k＝2ax＝1，
111
所以x＝，y＝－1.代入y＝ax2可解得a＝.
2a2a41
答案：
4
4．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为
?π，π?，则点P横坐标的取值范围为________． ?42?