\【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入双基限时练11（含解析）新人教A版选修1-2 \
1
1．在复平面内，复数z＝对应的点位于( )
2＋iA．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
12－i2121
解析 z＝＝＝－i，∵点(，－)在第四象限．∴复数z对应的点在第四象
2＋i55555限．
答案 D
3
2．复数2的值是( )
?1－i?3A.i 2C．i 解析
333
＝i. 2＝
?1－i?－2i2
3B．－i 2D．－i
答案 A 3.
2－3i
等于( ) 3＋2i
1B.i 5D．i
1A．－i 5C．－i 解析
2－3i?2－3i??3－2i?6－13i－6
＝＝2＝－i. 2
3＋2i?3＋2i??3－2i?3＋2
答案 C 4.
?1－i??1＋2i?
等于( )
1＋i
B．－2＋i D．2＋i
A．－2－i C．2－i 解析 ＝＝
?1－i??1＋2i?
1＋i
?1－i??1＋2i??1－i?
?1＋i??1－i?－2i?1＋2i?
＝－i(1＋2i)
2
＝2－i.
1
答案 C
1＋7i
5．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
2－iA．－15 C．3 解析
1＋7i?1＋7i??2＋i?
＝ 2－i?2－i??2＋i?
B．－3 D．15
＝－1＋3i＝a＋bi， ∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3. 答案 B
6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )
1A. 31C. 6
2
2
1B. 4D.1 12
2
2
解析 (m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n－m)i，由此复数为实数得n－m＝0，即n＝±m，故61
所求的概率为P＝＝. 6366
答案 C
7．复数z满足方程zi＝1－i，则z＝________. 解析 z2i＝1－i，∴z＝答案 －1＋i
2
8．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
1－i2
解析 a＋bi＝＝1＋i，
1－i∴a＋b＝1＋1＝2. 答案 2
9．若z1＝1＋i，z2＝a－i，其中i为虚数单位，且z12z2∈R，则实数a＝________. 解析 ∵z12z2＝(1＋i)2(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i∈R， ∴a＋1＝0，a＝－1. 答案 －1
1－i?1－i?i
＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i. ii2i
2
10．若z＝
210050
，则z＋z＋1的值是________． 1－i
22?1＋i?1＋i
解析 ∵z＝＝＝，
1－i22∴z＋z＋1＝?
100
50
?1＋i?100?1＋i?50
?＋??＋1 ?2??2?
?2i?50?2i?25
＝??＋??＋1 ?2??2?
＝i＋i＋1＝－1＋i＋1＝i. 答案 i
50
25
?a
11．定义运算?
?b
c?
?z
?＝ad－bc，复数z满足?d??1
i?
i?i?
?＝1＋i，求z.
1＋2i
?z
解 由题意知，?
?1
?＝i2z－i＝1＋i，∴iz＝1＋2i，∴z＝i＝2－i. i?
12．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为
→→→
A、B、C，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 由题意知，A，B，C三点在复平面内的坐标分别为(－1,2)，(1，－1)，(3，－4)，
→→→∵OC＝λOA＋μOB，
∴(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)．
?－λ＋μ＝3，?∴???2λ－μ＝－4，
?λ＝－1，?
解得?
??μ＝2.
∴λ＋μ＝1.
13．已知复数z满足|z|＝2，z的虚部为2. (1)求复数z；
(2)设z，z，z－z在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)．
由已知条件得a＋b＝2，z＝a－b＋2abi， ∴2ab＝2.解得a＝b＝1或a＝b＝－1. ∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z＝(1＋i)＝2i，z－z＝1－i. ∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)． 11
∴S△ABC＝|AC|31＝3231＝1.
22当z＝－1－i时，z＝2i.
3
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z－z2＝－1－3i.
∴A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)．
S△ABC＝|AC|31＝3231＝1.
综上可知△ABC的面积为1.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设复数z＝cosA＋isinA，且满足|z＋1|＝1.
(1)求复数z； (2)求1212
b－cacos?60°＋c?
的值．
解 (1)∵z＝cosA＋isinA， ∴z＋1＝1＋cosA＋isinA. ∴|z＋1|＝?1＋cosA?＋sinA ＝2＋2cosA＝1.∴2＋2cosA＝1， 1
cosA＝－，∴A＝120°.
2∴sinA＝
313，复数z＝－＋i. 222
2
2
(2)由正弦定理，得：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)． ∴
sinB－sinC＝. acos?60°＋c?sinA2cos?60°＋C?
b－c∵B＝180°－A－C＝60°－C，
sin?60°－C?－sinC＝
sin120°2cos?60°＋C?
33cosC－sinC223
cos?60°＋C?2
cosC－3sinC＝
cos?60°＋C?
∴原式＝＝
2cos?60°＋C?b－c＝2.即＝2.
cos?60°＋C?acos?60°＋c?
4