数学·必修5(人教A版)
3．2 一元二次不等式及其解法 3.2.2 含参数的一元二次不等式的解法
?基础达标
x2
1．不等式<0的解集为( )
x＋1
A．(－1,0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－1,0)
D．(－∞，－1)
答案：D
2．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解是( ) A．x＜－n或x＞m B．－n＜x＜m
C．x＜－m或x＞n D．－m＜x＜n
解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，
∵m＋n＞0，∴m＞－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解是－n＜x＜m.故选B.
答案：B
3．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
解析：方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a,5a，
1
∵2a＋1＜0，∴a＜－.
2
∴－a＞5a，结合y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集是{x|x＜5a或x＞－a}．故选A.
答案：A
m2
4．不等式x＋mx＋>0恒成立的条件是________．
2
答案：0 5．若函数y＝kx2－6kx＋?k＋8?(k为常数)的定义域为R，则k的取值范围是________． 解析：函数y＝kx2－6kx＋?k＋8?的定义域为R，即kx2－6kx＋(k＋8)≥0对一切x∈R恒成立．当k＝0时，显然8>0恒成立；当k≠0 ???k>0，?k>0， 时，则k满足?即? 2 ???Δ≤0，?36k－4k?k＋8?≤0. 解之得0 ?巩固提高 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： 1 2 3 4 x －3 －2 －1 0 0 －4 －6 －6 －4 0 6 y 6 则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________． 解析：从表中取三组数据(－1，－4)、(0，－6)、(1，－6)分别代 a－b＋c＝－4，?? 入函数表达式得?c＝－6， ??a＋b＋c＝－6， a＝1，?? 解得?b＝－1， ??c＝－6. ∴二次函数表达式为y＝x2－x－6. 由x2－x－6>0得(x－3)(x＋2)>0， ∴x<－2或x>3. 答案：{x|x<－2或x>3} 7．关于x的不等式x(x－a2－1)≤0的解集是________． 解析：方程x(x－a2－1)＝0的两根为0，a2＋1，且 a2＋1＞0，故不等式x(x－a2－1)≤0的解集是 {x|0≤x≤a2＋1}． 答案：{x|0≤x≤a2＋1} x－a 8. 若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)， x＋1 则实数a＝________. x－a 解析：注意到等价于(x－a)(x＋1)＞0，而解集为x＜－1或x x＋1 ＞4，从而a＝4. 答案：4 9．已知实数a满足不等式－3＜a＜3，解关于x的不等式： (x－a)(x＋1)＞ 0. 解析：方程(x－a)(x＋1)＝0的两根为－1，a. ①当a＜－1即－3＜a＜－1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞－1}； ②当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}； ③当a＞－1即－1＜a＜3时，原不等式的解集为 {x|x＜－1或x＞a}． 10．解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a＞0)． 解析：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0， 当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}． 1．解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完备的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值，是解决此类问题的关键． 2．分类标准如何确定？看后面的结果不唯一的原因是什么．一般来讲，先讨论二次项的系数，再对判别式进行讨论，最后对根的大小进行讨论.