第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望 §4.2 方差
二、计算下列各题
1. 设球直径的测量值在?a,b?上服从均匀分布,求球体积V的数学期望。 ?1,a?x?b?解 设球的直径为X,其概率密度为f(x)??b?a
?0，? 其它?x3则球的体积Y?g(x)?,6
b?1?1E(Y)?E?g(x)???x3?dx??x4a6b?a6?b?a?4ba??a?b?a2?b2?24??
?11?2. 设随机变量X服从??,?上的均匀分布，y?g?x???22??lnx,x?0,求 ?0, x?0?Y?g(x)的数学期望和方差。
11?1,??x??解 X的概率密度f(x)??22，
?0, 其它?E(Y)?E?g?x???12?120lnxdx??1?ln2, 2?ln2?1, D?Y??1?ln2?2?1ln2?3。 424EY????20ln22?ln2?xdx?23. 在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。
解: 以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置， ∴ X,Y?U(0,a)，
?1?1?1,x?(0,a),y?(0a,)???,x,y?(0,a)， fY(y)??a，f(x,y)??a2， fX(x)??a????0, 其它?0, 其它?0, 其它令Z?X?Y,则Z取值于(0,a)， 这时 FZ(z)?P??z?X?Y?z??1212dxdy?z?z 22??aaa?z?x?y?z?22??z,0?z?a∴ fZ(z)??aa2
??0, 其它E(Z)??a02121113z(?2z)dz?2(z2?z)aaa2a3a02a2a???。 a634. 某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。
解 Ak?“第K次命中目标”,K?1,2?
P?x?k??P(A1A2?Ak?1Ak)=P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?(1?0.8)k?1?0.8
?k?1E(x)??k?0.2k?1?0.8?0.8?k?0.2k?1,
k?1?取 S(x)??kxk?1?k?1????k??x?1??x??,??????21?x??1?x???k?1?x?1,
??0.8122k?1??1.25, E(x)??k?0.2?0.8?0.8?k2?0.2k?1, 所以 E(x)?20.8(1?0.2)k?1k?1取 g(x)??k2xk?1k?1???x???k?1??xkx??????2??k?1???1?x???1?x??,3??1?x??x＜1
故 E?x2??0.8?1?0.2?1?0.2?3?1.875, 从而 D?x??Ex2??Ex??0.3125。
2??x2???2?2,x?05. 设轮船横向摇摆的振幅X的概率密度为f?x???Axe??0, x?0 ，?为常数
试确定常数A,并求E(X)、D(X)和P?X?E(X)?。
?????x22?2解
???f?x?dx?A?xe0dx??A?2e?x22?2??0?A?2?1,A?1 2?1E(X)?2?EX2???0x2e?x22?dx???xde0???x22?2??xe?x22?2??0??e0???x22?2dx?2???2??2??1?2????0x3e?x22?2dx2x2令t?2?22?2?te?tdt??2?2?tde?t?2?200????
D?X??EX2??E?X???2?2????2??????2???222????2??P?X?E(X)??1?P?X?E(X)??1??f(x)dx?1????20??12?24xedx?e2?x2?6. 设?X、Y?的联合分布为右表 (1) 求E?X?、E?Y?
Y X 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 ?1 0 1 (2) 设Z?Y/X、求E?Z?
2 (3) 设W??X?Y?、求E?W?。
解 E(Y)??0.2?0.1?0????1???0.1?0?0.3??0??0.1?0.1?0.1??1?0
E(X)??0.2?0.1?0.1??1??0.1?0?0.1??2??0?0.3?0.1??3?2
Z P 1111
23230.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 -1 - ? 0 1 W P 0 1 4 9 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0 11?1?E(Z)?0.2???1??0.1?????0.1?1?0.1??0.1???0.0667
32?2?E(W)?0.1?0?0.2?1?0.3?4?0.4?9?0?16?5。
7. 设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，
求随机变量X?Y的方差。
解 令Z?X?Y,则Z?N(0,1) fZ(z)?1e2????z22
E(Z)??????zfZ(z)dz???zfZ(z)dz????00zfZ(z)dz?2? E(Z)?E(Z2)??2????z21?z2edz?1 2?22D(X?Y)?D(Z)?E(Z)?E2(Z)?1?2?。
8. 箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则E(X|Y?1)为多少？ 解：条件期望E(X|Y?1)的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望E(X|Y?1)，先要求得Y?1条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故
P{X?0|Y?1?}P{X? 1Y?|，?21C?C3， 31 P{X?2|Y?1}??34C4 P{X?3|Y?1C?}33C431， ?4319由此可算得Y?1下的条件期望E(X|Y?1)?2??3??。
4449. 某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中
的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。 解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为层下电梯，则有P?Ak??1?i?2,3,?,10?，设Ak表示第k人在第i918,P?Ak?? (k?1,2,?,25)， 99又?A1,?,A25相互独立，因此第i层无人下电梯（电梯不停）的概率为
?25?25?8?P??Ak???P?Ak????
?9??k?1?k?1设Xi??25?1,第i层有人下，i?2,?,10，则
0,第i层无人下??8??8?P?Xi?0???? ,P?Xi?1??1??? ,i?2,3,?,10
?9??9?因此，电梯停的总次数为X?2525?Xi?210i，
??8?25??10?10EX?E??Xi???E?Xi??9?P?Xi?1??1?9?1???? 。
?i?2?i?2??9????10. 设随机变量X的概率密度为
?ax2?bx?c,0?x?1 f(x)??
0,其他.?已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系数a、b、c。
解：由密度函数性质及已给条件，知有
ab??c，?2a?3b?6c?6，
??032?11abc?E(X)??xf(x)dx??xax2?bx?cdx???，?3a?4b?6c?6，
??02432?212abc22 E(X)??xf(x)dx??xax?bx?cdx???，
??0543abc122 0.15?D(X)?E(X)?E(X)????，?12a?15b?20c?24，
54341???f(x)dx??ax2?bx?cdx?1??????三个方程，三个变量，解之可得：a?12,b??12,c?3。
211. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从N?,?，设Z?max?X,Y?，求E?Z?。
??解：设U?X???,V?Y???，则X??U??,Y??V??，由于X与Y相互独立
?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?
?Z?max?X,Y??max??U??,?V?????max?U,V???
?U,V相互独立，且U~N?0,1?,V~N?0,1?，则有T?U?V~N?0,2? ?E?T???????tt?122?2 edt?2??2?2