高等数学（一）2014上半年第一次作业
一、选择题： １．函数f(x)?1?ln(x?1)的定义域是（ C ） xＡ．(?1,0) Ｂ．(0,??)
Ｃ．(?1,0)?(0,??) Ｄ．(??,0)?(0,??)
1x2．lim(1?2x)?（ C ）
x?0Ａ．e Ｂ．e Ｃ．e Ｄ．１
3．y?sin(x?213?4)?cos(x??)的周期是（D ） 23Ａ．2? Ｂ．6? Ｃ．4? Ｄ．12?
4．设f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?x(1?x)，则x?0时，f(x)的解析式是（ B ）
Ａ．?x(1?x) Ｂ．x(1?x) Ｃ．?x(1?x) Ｄ．?x(x?1)
5．函数y?1?x2，(?1?x?0)的反函数是（ B ）
A．y??1?x2 (?1?x?0) B．y??1?x2 (0?x?1) C．y?1?x2 (0?x?1) D．y?1?x2 (?1?x?1) 6．在下列各函数中，表示同一函数的是（ C ）
A．y?C．y?x2与y?(x)2 x2?1?x与y?
B．y?sinx与y?1?cos2x
2 D．y?ln(x?2x?1)与y?2ln(x?1)
1x2?1?x7．??2sinx?sin2x, ??1?cosx, 则当x?0时，?与?的关系是（ D ）
A．?~?
B．?是比?高阶的无穷小
D． ?是比?高阶的无穷小
C．?,?是同阶无穷小
8．在区间（??,0)内与y?A．
x2?x3是相同函数的是（ B ） xC．?1?x B．?1?x x?1 D．x?1
9．设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?999)，则f?(0)?（ D ）
A．999
B．999?999
C．999!
D．-999!
10．若f?(x0)存在，则limA．f?(x0) 11．函数y?arcsinA．[-2, +2]
?x?0f(x0?2?x)?f(x0??x)?（C ）
?xC．3f?(x0)
D．4f?(x0)
B．2f?(x0)
x?11的定义域是（ C ） ?224?xB．[-1, 2]
C．[-1, 2]
D．(-1, 2)
12．函数y?2x?2?x的图形（ C ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．不是对称图形
13．当x?0时，下列式子是无穷小量的是（ C ）
sinxA．
x3
B．(1?x)
1xC．xsin131 xD．sin1 x14．曲线y?x?3x在点（2，2）处的法线方程为（ B ）
1(x?2) 912C．y??x?
99A．y?2?B．y??120x? 99D．y?2?9(x?2)
xn15．lim?x（n为自然数，??0）的极限是（ C ）
x??eA．1
B．不存在
C．0
D．
1 n?16．f(x)?sinx在x?0处的导数是（ C ）
A．0
B．2
C．不存在
D．1
17．当n??时比
1低价无穷小的应是以下中的（ B ） n21A．sin2
nB．n?53 C．
1 23n?nD．n
18．下列函数中不是初等函数的有（B ）
A．y?xsinx
2
B．y?log(x2?1)?x D．
C．y?arcsinx?2cosx 19．lim?xsinA．0
sinx x?x?0?2sin3x????（ B ） xx?B．3
C．5
D．2
20．函数f(x)?x3?x在[0, 3]上满足罗尔定理的??（ D ）
A．0
二、填空题（每小题4分，共20分）
21．曲线x?t, y?2t在t?1对应点处的切线方程是 y=x+1 。
B．3 C．
3 2D．2
2．设??x?arcsin(t?1)dy? 1-t 。 ，则2dx?y?2t?tx3．函数y?e?x?1的单调减少区间是 (-无穷大,0) 。
4．函数y?x?x?1在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的全部条件，则使结论成立的?= 2/1 2?x?a?5．已知lim???4，则a?ln2
x??x?a??
三、解答题（每小题8分，共40分） 1．证明不等式：当x?0时，ln(1?x)?x1arctgx 1?x1?x)?arctgx, 证：令f(x)?(1?x)ln(则
1x2f'(x)?ln(1?x)?1??ln(1?x)??0
1?x21?x2?f(x)?f(0) 即 (1?x)ln(1?x)?arctgx?0
2．设f(x)在[0, 2a]上连续且f(0)?f(2a)，试证明至少有一点??[0,a]使得
f(?)?f(??a)。
证：令k(x)?f(x)?f(x?a)
则 k(0)?f(0)?f(a)， k(a)?f(a)?f(2a) 若f(0)?f(a) 则取 ??0或 a 若 f(0)?f(a) 则 k(0)?k(a)?0
故存在??(0,a)使 k(?)?0 即f(?)?f(??a) 。
1d2y3．求由方程x?y?siny?0所确立的隐函数y的二阶导数。
2dx2解：两边对x求导 1?dy1dy2?cosy??0 ?y?? dx2dx2?coysd2y?4siny ?dx2(2?cosy)3xsin4．求极限limx?043sinx131x 。
解：原式＝lim?x?x?0x1?sin?0 sinxx
5．若f(x)在[a, b]连续，a?x1?x2???xn?b则在[x1,xn]上存在?使
f(?)?
f(x1)?f(x2)???f(xn)。
n证：设m, M分别是f(x)在[x1,xn]上的最小，最大值，则 m?f(xi)?M 从而 m?n??i?1nf(xi)?Mn 即 m??f(x)?M
in由介值定理，存在??[x1,xn] 使 f(?)?
?i?1nf(xi)n