2016 年竞赛与自主招生专题第十三讲排列组合与二项式定理
从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理是自主招生必考的一个重要内容之一。
一、知识精讲
1.分类加法原理（加法原理）:N?m1?m2???mn. 2.分步计数原理（乘法原理）:N?m1?m2???mn. 3.排列数公式:Pnm=n(n?1)?(n?m?1)= 4.排列恒等式 ：
mm?1nn?1nmmm?1（1）P； n?nPn?1； （2）nPn?Pn?1?Pn； （3）Pn?1?Pn?mPnn!.(n，m∈N*，且m?n)．注:规定0!?1.
(n?m)!(4) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 5.组合数公式：
Pnmn(n?1)?(n?m?1)n!=(n?N*，m?N，且m?n). C=m=
1?2???mPmm!?(n?m)!mn 6.组合数的两个性质：
n?mm0mmm?1(1)Cn=Cn ； (2) Cn+Cn=Cn?1；注:规定Cn?1.
7.组合恒等式
nnm?1rrr?1（1）C?Cn?1； （2）?Cn=2n； （3）Crr?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1； mr?0mn135024(4)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1； 123n(5)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2n?1；
021222n2n(6)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n；
1
m 8.排列数与组合数的关系：Pnm?m!?Cn .
0n1n?12n?22rn?rrnn 9.二项式定理：(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;
rn?rr1，2?，n). 二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnab(r?0，
kn?kkkk?1kk?11.几个基本组合恒等式：①Cn；②Cn?Cn?Cn?1?Cn?1；③kCn?nCn?1；④01nCn?Cn???Cn?2n；
qkq?kqCm?Cm⑤C?C?C???C?C?C??2；⑥?Cn。 ?n（范德蒙公式）
0n2n4n1n3n5nn?1k?02.不尽相异的m个元素的全排列：在m个元素中，有n1个元素相同，又另有n2个元素相同，。。。。，一直到另有nr个元素相同，且n1?n2???nr?m，这m个元素的全排列叫做不尽相异的m个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为：X?m!。
n1!n2!?nr!3.从n个元素里取m个元素的环排列：从n个不同元素中任取m(1?m?n)个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从n个元素里取m个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个m个元素的环在m个不同的位置拆开，即得m个不同的线排列。由于n个不同元素中任务m个元素的排列方法Pm所以n个不同元素中任取m个元素的环n种，排列方法有
mPnm种。特别地，n个不同元素的环排列方法有
nPnn?(n?1)!（种）。
m?注：排列数Pmn，有些地方也记为An。
rn?14.一次不定方程x1?x2???xn?r的非负整数解的个数等于Cn（或；正整数解的C?r?1n?r?1）?n个数等于Crn??11（或Crr?。 1）
5.错位排列问题：设集合I?{1,2,?,n}，所有元素的一种全排列t1,t2,?tn，满足
ti?i(i?1,2?,n，则称这样的排列)t1,t2,?tn为错位全排列。用Dn表示I?{1,2,?n}错位全排
2
1??111列总数，则Dn?n!?1??????(?1)n??。
n!??1!2!3!6.排列、组合应用题常用的解法有：
①运用两个基本原理（加法原理、乘法原理）；②特殊元素（位置）优先考虑；③捆绑法；④插入法；⑤排除法；⑥机会均等法；⑦转化法。
7.证明组合恒等式的常用方法有：①赋值法；②母函数法；③构造组合模型法。
三、典例精讲
xn的系数为例1．（2009华南理工）在(1?x)2n?x(1?x)2n?1???xn(1?x)n的展开式中，（ ）。
（A）
(2n?1)!(2n?2)!(2n?1)!(2n?2)! （B） （C） （D）
n!n!n!n!n!(n?1)!n!(n?1)!?答案A
?分析与解答：
nn?1n?20nnnnn?1nxn的系数?C2n?C2n?1?C2n?2??Cn?C2n?C2n?1?C2n?2???Cn?Cn?1?Cn?1?
nnn?1nnn?1nnn?1Cn?2???C2n?Cn?2?Cn?2???C2n?Cn?3?Cn?3???C2n?C2n?1?(2n?1)!(n?1)!n!。
例2．（2011“卓越联盟”）数列{an}共有11项，a1?0,a11?4，且|ak?1?ak|?1,k?1,2?10。满足这种条件的不同数列的个数为（ ）
（A）100 （B）120 （C）140 （D）160 ?分析与解答：
依题意，ak?1?ak?1或ak?1?ak??1，设有x个1，则有10?x个-1，依题意知：
a11?a1?(a11?a10)?(a10?a9)???(a2?a1)，所以4?x?(10?x)?x?7。从而所有这样的数
73列个数为C10?C10?120。故选B。
例3．（2006复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？
?分析与解答： 显然，四位数全部相同的四位数恰有9个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑：
第一步，先考虑千位数字，有9种可能取法：1,2,3，。。。9
第二步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从0,1,2?9中选出1个数码。
3
第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有2种可选择性，但要去掉一种情况：即个位、十位、百位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有(2?2?2?1)种选法。
综上，共有四位数9?9?9?(2?2?2?1)?576个。
例4．（2007复旦）三边均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）个。 （A）20 （B）26 （C）30 （D）36 ?答案：D
?分析与解答：
不妨设三边长为a,b,c，且a?b?c，则c?11。 若a?1，b?{11}，共1个； 若a?2,b?{10,11}，共2个； 若a?3,b?{9,10,11}，共3个； 若a?4,b?{8,9,10,11}，共4个； 若a?5,b?{7,8,9,10,11}，共5个； 若a?6,b?{6,7,8,9,10,11}，共6个； 若a?7,b?{7,8,9,10,11}，共5个； 若a?8,b?{8,9,10,11}，共4个； 若a?9,b?{9,10,11}，共3个； 若a?10,b?{10,11}，共2个； 若a?11,b?{11}，共1个。
故共有1?2???6?5?4???1?36个。
例5．（2010同济）若多项式x2?x10?0a?1(a1?)x??9a(1?9x)?10a(1?，a9? 。
?答案：-10
?分析与解答：
考虑两边x10的系数，易知a。再考虑两边x9的系数，右边?a910?19?a10?C10?a9?10。
4
则)x