复变函数测验题
第六章 共形映射
一、选择题：
1．若函数w?z2?2z构成的映射将z平面上区域G缩小，那么该区域G是 ( )
（A）z?1111 （B）z?1? （C）z? （D）z?1? 22222．映射w?3z?i在z0?2i处的旋转角为( ) z?i（A）0 （B）
iz2?2 （C）? （D）??2
3．映射w?e在点z0?i处的伸缩率为( )
（A）1 （B）2 (C)e?1 （D）e
?4．在映射w?iz?e(A)Re(w)?4i下，区域Im(z)?0的像为( )
22 （B）Re(w)?? 2222 （D）Im(w)?? 22（C）Im(z)?5．下列命题中，正确的是( )
n（A）w?z在复平面上处处保角（此处n为自然数）
3（B）映射w?z?4z在z?0处的伸缩率为零
（C） 若w?f1(z)与w?f2(z)是同时把单位圆z?1映射到上半平面Im(w)?0的分式线性变换，那么f1(z)?f2(z)
（D）函数w?z构成的映射属于第二类保角映射 6．1?i关于圆周(x?2)?(y?1)?4的对称点是( )
1
22复变函数测验题
（A）6?i （B）4?i （C）?2?i （D）i
?z3?i7．函数w?3将角形域0?argz?映射为 ( )
3z?i(A)w?1 （B）w?1 （C） Im(w)?0 （D）Im(w)?0 8．将点z?1,i,?1分别映射为点w??,?1,0的分式线性变换为（ ）
（A） w??z?1z?1 （B）w? z?11?ziiz?1z?1 (D) w?e2 1?zz?1?（C）w?e29．分式线性变换w?2z?1把圆周z?1映射为( ) 2?z（A） w?1 (B) w?2 （B） w?1?1 (D) w?1?2
10．分式线性变换w?z?1将区域:z?1且Im(z)?0映射为( ) 1?z（A）??2?argw?? （B） ??2?argw?0
（C）
?2?argw?? （D）0?argw??2
11．设a,b,c,d,为实数且ad?bc?0，那么分式线性变换w?az?b把上半平面映射为wcz?d平面的( )
（A）单位圆内部 （B）单位圆外部 （C）上半平面 （D）下半平面
12．把上半平面Im(z)?0映射成圆域w?2且满足w(i)?0,w?(i)?1的分式线性变换
2
复变函数测验题
w(z)为( )
（A）2ii?zz?ii?zz?i （B）2i （C）2 （D）2 i?zz?ii?zz?i13．把单位圆z?1映射成单位圆w?1且满足w()?0,w?(0)?0的分式线性变换w(z)为( )
(A)
i22z?ii?2z2z?ii?2z
（B） （C） （D） 2?iz2?iz2?iz2?iz
14．把带形域0?Im(z)??2映射成上半平面Im(w)?0的一个映射可写为( )
izz2z（A）w?2e （B）w?e （C）w?iez （D）w?e
ez?1?i15．函数w?z将带形域0?Im(z)??映射为( )
e?1?i（A）Re(w)?0 （B）Re(w)?0 （C）w?1 （D）w?1 二、填空题
1．若函数f(z)在点z0解析且f?(z0)?0，那么映射w?f(z)在z0处具有 ． 2．将点z?2,i,?2分别映射为点w??1,i,1的分式线性变换为 ．
3．把单位圆z?1映射为圆域w?1?1且满足w(0)?1,w?(0)?0的分式线性变换w(z)? 4．将单位圆z?1映射为圆域w?R的分式线性变换的一般形式为 ．
5．把上半平面Im(z)?0映射成单位圆w(z)?1且满足w(1?i)?0,w(1?2i)?线性变换的w(z)= ．
1的分式3 3
复变函数测验题
6．把角形域0?argz??4映射成圆域w?4的一个映射可写为 ．
7．映射w?ez将带形域0?Im(z)?3?映射为 ． 48．映射w?z3将扇形域：0?argz??3且z?2映射为 ．
9．映射w?lnz将上半z平面映射为 ． 10．映射w?11(z?)将上半单位圆：z?2且Im(z)?0映射为 ． 2z三、设w1(z)?a1z?b1az?b2,w2(z)?2是两个分式线性变换，如果记
c1z?d1c2z?d2?a1??c?1b1??d1???1??????????a1b1??a2???,???????c1d1???c2b2??ab?????cd?? d2?????1试证1．w1(z)的逆变换为w1(z)??z??；
?z??az?b．
cz?d2．w1(z)与w2(z)的复合变换为w1[w2(z)]?四、设z1与z2是关于圆周?:z?a?R的一对对称点，试证明圆周?可以写成如下形式
z1?az?z1R． ??其中???z?z2z2?aR五、求分式线性变换w(z)，使z?1映射为w?1，且使z?1,1?i映射为w?1,?． 六、求把扩充复平面上具有割痕：Im(z)?0且???Re(z)?0的带形域???Im(z)??映射成带形域???Im(w)??的一个映射．
七、设b?a?0，试求区域D:z?a?a且z?b?b到上半平面Im(w)?0的一个映射
4
复变函数测验题
w(z)．
八、求把具有割痕：Im(w)?0且
1?Re(z)?1的单位圆z?1映射成上半平面的一个映射． 2九、求一分式线性变换，它把偏心圆域?z:z?1且z?1?并求R的值．
??5??映射为同心圆环域1?w?R，2?x2y2十、利用儒可夫斯基函数，求把椭圆2?2?1的外部映射成单位圆外部w?1的一个映射．
54
答案
5