5、证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。 提示：因为1?2i2?5为素数，则1?2i（以及?1?2i,2?i,?2?i）是Z[i]的不可约元，
且显然有分解：5?(1?2i)(1?2i) 若设5?a1a2?an(ai不可约） 则
52?a1?a2?an且ai5=ab且a四、解答题
222222?1,ai2?25，这只有n?2，且ai2?5不妨设
?b?5则只能a?b，即5=aa，即5有唯一分解。
1、设X是数域F上全体n阶方阵作成的集合，问：
?:A?A （A为A的行列式）是否是X到F的一个一一映射？说明理由。
提示：?是X到F的一个映射，但不是一一映射，因为
?10???11???A??,B??00??00??，A，B?X,且A?B，但在?下，?(A)??(B)?0，不是????一一映射。
2、非零实数集R对运算a?b?ab能否作成群，说明理由。
提示：非零实数集R对运算a?b?ab不能作成群。因为1,?1?R，但方程1?x??1， 即x??1在R中无解，由群的定义知R对所给代数运算，不能作成群。 3、试举出满足以下条件的群：
1）G是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。
2）G是无限群，G中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。 提示：1）如整数加群G除单位元O外，每个元的阶都无限。
2）如：全体非零有理数对普通乘法作成一个群，满足题设条件，除单位元1的阶是1外，-1的阶是2，而其余各元素的阶都是无限。
4、举例说明：环R的中心不一定是R的理想。
提示：例：有理数域Q上n>1阶方阵环Qn?n的中心为C=?aE|a?Q?,E是n阶单位阵，它不是Qn?n 的理想，因易知存在A?Qn?n，而aE?A?aA?C，其中a?0,由理想定义知：C不是Qn?n的理想。
陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（七）
? a
16
b c ac c c 一、设A?{a,b,c}，A的代数运算?由下表给定： 1. 集合A上的变换有几个？集合A上的单变换有几个？ bc c c 2. 定义在A上的自同态映射有几个？ 3. 定义在A上的自同构有几个？并具体写出来？ c c c c 答案：1. 27;6 2. 9 3. 2；?:a?a,b?b,c?c；
?:a?b,b?a,c?c
二、求模12加群Z12的所有子群及Z12的生成元。
答案：子群： H1?{[0]]，H2?Z12，H3?{[0],[2],[4],[6],[8],[10]}，H4?{[0],[4],[8]}，
H5?{[0],[3],[6],[9]}，H6?{[0],[6]}；Z12的生成元:[1],[5],[7],[11]
三、给出环R与它的子环S的例子,使它们分别具有以下性质: 1. R具有单位元素,S无单位元素; 2. R无单位元素,S具有单位元素; 3. R、S都有单位元素,但不相同; 4. R无单位元素,S无单位元素; 5. R不交换,S交换； 6. R有零因子,S无零因子.
答案：1。R?(Z,?,?),S?(2Z,?,?)，R的单位元是1，关于数的普通加法和普通乘法；
2。R?{???ab??a0??10?S?????，，的单位元是，关于矩|a,b?Q}S?{|a,b?Q}??????00??00??00?阵的普通加法和普通乘法；
?ab??a0??10?3。R?{??cd??|a,b,c,d?Q}，S?{??00??|a,b?Q}，R的单位元是??01??，S的
??????单位元是???10??，关于矩阵的普通加法和普通乘法；4。R?2Z,S?4Z，关于数的普通??00??ab??a0???|a,b,c,d?Q}S?{，??0a??|a?Q}，关于矩阵的cd????加法和普通乘法；5． R?{??普通加法和普通乘法； 6。 R?{??乘法。
?ab??a0????|a,b,c,d?Q}S?{|a?Q}，关于矩阵的普通加法和普通，????cd??0a?m
四、证明：阶是p的群G一定包含一个阶是p的子群，其中m?Z，p是素数.
pn?1?答案：取a?G而a?e，则由Lagrange定理知，|a|?p，其中1?n?m，则an的
17
阶是p，所以H?(apn?1)是G的一个p阶子群。
五、证明：一个除环R的中心是一个域.
答案：显然0,1?C(R)，从而C(R)??；又?c1,c2?C(R)，?x?R，有
c1x?xc1,c2x?xc2，于是(c1?c2)x?c1x?c2x?xc1?xc2?x(c1?c2)，
(c1c2)x?c1(c2x)?c1(xc2)?(c1x)c2?(xc1)c2?x(c1c2)；?c?C(R)*，?x?R，
即cx?xc，所以，cxc?1?xcc?1?x，xc?1?c?1x，
所以c1?c2，c1c2，c?1?C(R)，显然C(R)是交换子群，因此C(R)是域。 六、设G是群，a,b?G，并且|a|?3,|b|?2，ba?ab，求由a,b生成的子群(a,b)。
n1n2解：按定义(a,b)?{x1x2xsns|xi?a或b,ni?Z}。由于ba?ab，并且
|a|?3,|b|?2，从而(a,b)的任一元素可表为：h?aibj,i?0,1,2,j?0,1,
所以(a,b)的阶最多是6。又因(|a|,|b|)?1,ba?ab，所以|ab|?|a||b|?6， 因此得知(a,b)是由ab生成的循环群，其元素为e?(ab)0，ab，(ab)2?a2，
(ab)3?b，(ab)4?a，(ab)5?a2b
七、找出S3的所有子群，并说明S3为什么不存在4阶子群。 答案：子群：H1?{(1)},H2?{(1),(12)}
H3?{(1),(13)}},H4?{(1),(23)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3六个子群；
由于4?|6，则由Lagrange定理知，S3不存在4阶子群。
四、找出环Z8的所有可逆元与零因子，并给出它的所有子环和最大理想。
答案：Z8的可逆元为：[1],[3],[5],[7]；Z8的零因子：[2],[4],[6]；子环：H1?{[0]]，
H2?Z8，H3?{[0],[2],[4],[6]}，H4?{[0],[4]}； Z8的最大理想：H3?{[0],[2],[4],[6]}。
八、设f是群G到群G的同态满射，N?G，N?f????1(N)，证明：G?N?G?N?。
18
答案：设?是G到G???NG???G?Gf???的自然映射，则f与的?合成是G到G?N??满同态，，x?f(x)?f(x)N ????N并且ker(?f)?{x?G|(?f)(x)?N}={x?G|?(f(x))?N}?{x?G|f(x)N?N}
?{x?G|f(x)?N}=N，因此由同态基本定理知，N?G并且G九、设A是集合。
1． 集合A上的二元关系满足什么条件时就是A上的等价关系？
?N?G?N?。 2． 设A?{1,2,3}，A上的二元关系有几个？A上的等价关系有几个？A可分几类？ 答案1。反身性；对称性；传递性； 2。 29；A可分五类：?1?{{1},{2},{3}}；
?2?{{1,2},{3}}；?3?{{1,3},{2}}；?4?{{2,3},{1}}；?5?{{1,2,3}}；由集合的分类
决定等价关系知，A上的等价关系有5个。 十、设S3是3次对称群。
1．找出S3的所有子群； 2．找出S3的所有的不和(123)交换的元；
3．取S3的子集S?{(12),(123)}，则S生成的子群包含哪些元素？群S3的两个不同的子集
合会不会生成相同的子群？
答案：1。子群：H1?{(1)},H2?{(1),(12)}
H3?{(1),(13)}},H4?{(1),(23)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3六个子群；
2．(12),(13),(23)；3。(S)?S3；一个群的两个不同的子集合会生成相同的子群: 如A?{(123)},B?{(132)}，(A)?(B)?{(1),(123),(132)}。
陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程学习指导（八）
二、判断题
1、若对于代数运算?,?，A与A同态，那么若A的代数运算?适合结合律，则A的代数运算也适合结合律。
2、若有单位元(?0)的交换环R，除零理想和单位理想外，没有其他理想，则R一定是一个域。3、整环中一个不等于零的元a，有真因子的冲要条件是a?bc。 4、群G中元素a的逆元存在，但不一定唯一。
19
5、设F是任意一个域，F?是F的全体非零元素作成的裙，那么F?的任何有限子群G必为循环群。
提示：
1、√， 2，√ 3、× 4、×， 5、√ 三、证明题
1、设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算a?b?au?1b作成一个群。 提示：
显然所给运算是G的一个代数运算，又任取a,b,c?G,则
(a?b)?c?(au?1b)?c?(au?1b)u?1c a?(b?c)?a?(bu?1c)?au?1(bu?1c)而G是
群。(au?1b)u?1c?au?1(bu?1c) 即(a?b)?c?a?(b?c) 即G对新代数运算结合律
?1成立。又任取a?G， a?u?auu?a，即u 是右单位元。
又a?(ua?1u)?au?1(ua?1u)?u，即uau是a的右逆元。由群的定义知，G对新运算也作成一个群。
2、证明：在任意群Ｇ中，a与cac?1(a,c?G)同阶。
提示：设a?e，反之若(cac?1)n?e，有cac(cac?1)n?canc?1?e，即a与cac有相同的阶。
3、设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环，Mn(R) 是R上n 阶方阵环，A,B?Mn(R)，证明：
?1nn?1?1?e an?e
AB?E?BA?E，其中E是n 阶单位矩阵。
?提示：由于R可交换，得：AB?AB?BA?1，从而A可逆，设A是A的伴随矩
阵，则由R有单位元1可知：
A?A?AA??AE 于是A?1?AA? 故若：AB?E，则：
ABA?A A?1ABA?A?1A?E ，即BA?E 同理可由BA?E?AB?E
4、证明：有理数域Q是域Q（i）={a?bi|a,b?Q}的唯一真子域。
提示：Q显然是域Q（i）的一个真子域。又设F是Q（i）的一个子域，且F?Q,则由于任何数域都包含Q，即Q?F，从而有a?bi?F, a?bi?Q, (b?0, a?Q) 于是 ，因此Q是域Q（i）的唯一真子域。 (a?bi?a)b?1?i?F，从而F=Q（i）
5、设A和B 是环R的理想，证明：当A和B至少有一个含有单位元时，
?1A?B?{ab|a?A,b?B}是R的理想。
20