十三周周末卷答案
一．填空题（本大题满分56分） 2012.4.
1. 0 ； 2.
310； 2 ； 3. ???,0?； 4. 29； 5. 0.381； 6.arccos107. 文
7282，理 ； 8.文x?2，理2； 9.文②③，理?； 10. 444.3； 223n?111 . ??arctan22； 12. 文2?1,理2； 13. ?9,???； 14 ．14
二、选择题 15. A ； 16. C ； 18. B ； 17. A ； 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题
19．（文）解：（1）由函数f(x)是偶函数,可知f(x)?f(?x).…………………2分
?log2(4x?1)?2kx?log2(4?x?1)?2kx.
4x?1即log2?x??4kx, ……………………………………4分 4?1log24x??4kx,?2x??4kx对一切x?R恒成立.
1?k?? ………………………………………………………6分
2 （2）由F(x)?0得：m?f(x)?log2(4?1)?x， …………………8分
x4x?11x?m?log2?log(2?). ………………………………9分 22x2x?2x?1?2， ……………………………………………………10分 2x?m?1.故要使函数F(x)?f(x)?m存在零点，则实数m的取值范围是m?1.…12分
学生可能出现的一种错解 ：
m?x?log2(4x?1) ，?x??0,??1?? 2?因为左边的函数y?m?x单调递增，右边的函数也单调递增
1
?m?0?log2(40?1)?m?0?log2(40?1)?? 所以?或? 11?m??log2(2?1)?m??log2(2?1)?2?2 得到的答案也是1?m?log232，但实际上不是充要条件。 220．（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分 ． 解：（1）取AB的中点D，连DE、DF，则DF//A1B， ………………1分 直线EF和DF所成的角的大小等于异面直线EF和A1B所成的角的大小，即?DFE（或其补角）即为所求， ………………………………………………………………3分 由题意易知，DF?3，DE?1,AE?1 ………………………………………5分 由DE?AB、DE?AA1得DE?平面ABB1A1
∴DE?DF，即?EDF为直角三角形， ………………………………………6分 ∴tan?DEF?DE13?? ∴?DEF?30 ………………………………8分 ?DF330异面直线EF和A1B所成的角为30 ． ……………………………………………9分 （2）直三棱柱ABC?A1B1C1的体积V?11AB?AC?AA1??2?2?22?42 22 ………………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 解： （1）f(x)?sin(2x??6)?sin2x?311?2cos2x sin2x?cos2x?222?31sin2x? ……………………………………………………………3分 22所以T??， …………………………………………………………………………4分
?3???递减区间是?k??,k???,k?Z； …………………………………………………6分 44??（2）由f()?当cosB?B22?112得sinB?，cosB?? ………………………………10分
33212222时，b?a?c?2accosB，即a?2a?2?0，a?1?3负舍3?a?1?3； ……………………………………………………………………12分
2
当cosB??12222时，b?a?c?2accosB，即a?2a?2?0，a??1?3负舍。3?a??1?3； …………………………………………………………………14分
22. （文科）（1）设An(an,0)则由AnAn?1?得an?1?an?1An?1An 21(an?an?1),n?2 ……………………………………1分 211?an?1?an?()n?1(a2?a1)?8()n
221?an?an?1?8()n?1 (1)
2 ? ?
8a2?a1?1 (n-1)
2将（1）+（2）+…+（n-1）累加
得an?a1?82n?1?82n?2????8?8?211??1??1???2???2?1?12n?1????
?an?9?1616*(9?,0),n?N 坐标为 ………………………2分 ?An2n2n设Bn(bn，bn) 则OBn?2bn
?2bn?2bn?1?22 bn?bn?1?2 …………………………3分 ?bn?b1?2(n?1)?2n?1 ，?Bn坐标为(2n?1,2n?1)n?N* ……4分
（2）limkn?limn??2n?12n?1?lim?1 ……………………10分
n??1616?n???2n?8?n2n?1??9?n?22?? （3）S?S?OAn?1Bn?1?S?OAnBn? ?9?1?8??9?n2?21?16????(2n?3)??9?n??(2n?1)
2?2??8n?4 …………………………………………………12分 n28n?46?4ng(n?1)?g(n)?记g(n)?，则
2n2nn?1时，g(2)?g(1)，n?2时g(n?1)?g(n)
即g(2)?g(3)?g(4)???g(n)?? ………………………14分
3
故g(n)max?g(2)?3 又g(1)?2,lim12?8n?0?0?g(n)?3 ………………………………15分 nn??2则S的取值范围为?9,12? ………………………………………………………16分
23（文科）:
?c2?a?3?解：（1）由题意可知，?a?c?1, ………2分
?a2?b2?c2??所以a?3,b?5,
x2y2??1. ………4分 所以椭圆Γ的方程为95（2）?k1?1,F(?2,0),?设直线方程为y?x?2，A(x1,y1)，B(x2,y2)
?y?x?2?2 联立方程组?x2y2，整理得14x?36x?9?0， ………6分
?1??5?9 x1?x2??,x1x2??，
187914?AB?2x1?x2?2?(x1?x2)2?4x1x2?30. 7 ………7分 设O点到直线AB的距离为d，则d?0?0?22?2. ?S?AOB?11d?AB??22230152??. ………10分 77（3）设C(x3,y3)，D(x4,y4)， 直线AR的方程为y?x?1y1(x?1)，所以x?1y?1.
y1x1?15?x12x1?1y?y?4?0. ………13分 y12y1代入椭圆方程，消去x得：
4
4y124y1则y1y3??，且y1?0，所以y3??.
5?x15?x1代入直线AR的方程，得x3?5x?94y15x1?9，所以C(1,).
x1?5x1?5x1?5同理D(5x2?94y2,) ………15分 x2?5x2?54y14y2?4y1(x2?5)?4y2(x1?5)x?5x2?5k2?1 ?5x1?95x2?9(5x1?9)(x2?5)?(5x2?9)(x1?5)?x1?5x2?5?4(y1x2?5y1?y2x1?5y2)
16(x2?x1)y1y2.即y1x2?y2x1?2(y2?y1). ?x1?2x2?2因为A,F,B三点共线，所以
所以k2?7y2?y1y?y1而k1?2, ?4x2?x1x2?x1所以
k14?为定值. ………18分 k27
附：客观题详解（供参考） 一、填空
1. 0 ； 提示：?x?1?1?x?0 2.
2 ； 提示：
z2?1?i?zi?2?1?i?zi??1?i两边取模得z??1ix2
3. ???,0?；提示：2?1?0?A??0,????CUA????,0?
)?4?1?29 4. 29； 提示： (2008?1896C84C845. 0.381； 提示：?0.381 8C16
5