高考数学140分必读之把关题解析30讲（6）
1、设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)?x?0有实数根；② 函数f(x)的导数f?(x)满足0?f?(x)?1.” （I）判断函数f(x)?xsinx?是否是集合M中的元素，并说明理由； 24 （II）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意
[m，n]?D，都存在x0?[m，n]，使得等式f(n)?f(m)?(n?m)f?(x0)成立”， 试用这一性质证明：方程f(x)?x?0只有一个实数根；
（III）设x1是方程f(x)?x?0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的
x2,x3,当|x2?x1|?1,且|x3?x1|?1时,|f(x3)?f(x2)|?2.
解：（1）因为f?(x)?
11?cosx，????2分 2413所以f?(x)?[,]满足条件0?f?(x)?1,??????3分
44又因为当x?0时，f(0)?0，所以方程f(x)?x?0有实数根0. 所以函数f(x)?xsinx?是集合M中的元素.????4分 24 （2）假设方程f(x)?x?0存在两个实数根?,?(???），
则f(?)???0,f(?)???0，???5分 不妨设???，根据题意存在数c?(?,?), 使得等式f(?)?f(?)?f(???)f?(c)成立，????????7分 因为f(?)??,f(?)??,且???，所以f?(c)?1，
与已知0?f?(x)?1矛盾，所以方程f(x)?x?0只有一个实数根；????9分 （3）不妨设x2?x3，因为f?(x)?0,所以f(x)为增函数，所以f(x2)?f(x3)， 又因为f?(x)?1?0，所以函数f(x)?x为减函数，??????10分 所以f(x2)?x2?f(x3)?x3，????11分
所以0?f(x3)?f(x2)?x3?x2，即|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|,????12分
所以|f(x3)?f(x2)|?|x3?x2|?|x3?x1?(x2?x1)?|x3?x1|?|x2?x1|?2.
??????????13分
2、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为f(x)?． ．．1?x2（Ⅰ）试解释f(0)的实际意义；
（Ⅱ）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由． 解：（I）f（0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．?????2＇
（Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后．残留的农药量
11；??????????????????????????4＇ 1?a2aa1又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f（）=，
a2221?()2a此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为
2a1611W2=·f（）=[]2=．???????????8＇ 22a2a22(4?a)1?()1?()22为 W1=1×f（a）=
1a2(a2?8)16由于W1－W2=－=，?????????9＇ 2222221?a(4?a)(1?a)(4?a)故当a>22时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=22时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<22时，W1 3、（12′=9′+3′）（理）设P表示幂函数y?xc2?5c?6在?0,???上是增函数的c的集合；Q表示不等式 x?1?x?2c?1对任意x?R恒成立的c的集合。（1）求P?Q；（2）试写出一个解集为P?Q的不等式。 （文）设P表示幂函数y?xc2?6c?8在?0,???上是增函数的c的集合；Q表示不等式 （1）求P?Q；（2）试写出一个解集为x?1?x?4?c对任意x?R恒成立的c的集合。 P?Q的不等式。 解：（理）（1）∵幂函数y?xc2?5c?6在?0,???上是增函数，∴c?5c?6?0，即 2P????,2???3,???， 又不等式x?1?x?2c?1对任意x?R恒成立，∴2c?1?1，即 Q????,0???1,???， ∴P?Q????,0???1,2???3,??? 。 （2）一个解集为P?Q的不等式可以是 x?x?1??x?2??x?3??0 。 （文）（1）∵幂函数y?xc2?6c?8在?0,???上是增函数，∴c?6c?8?0，即 2P????,2???4,???， 又不等式x?1?x?4?c对任意x?R恒成立，∴c?3，即 Q????,3?， ∴P?Q????,3???4,??? 。 （2）一个解集为P?Q的不等式可以是 4、（理）已知 x?3?0 。 x?413x,x???2,2?,a为正常数。 2a?b??ab（当且仅当a?b时取等号） （1）可以证明：定理“若a、b?R，则”2f?x??a2x?推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）； （2）若f?x??0在?0,2?上恒成立，且函数f?x?的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y?f?x?的单调性（无需证明）； （3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x?x1时，f?x?取得最大值。试构造一个定义在D?xx??2,且x?4k?2,k?N上的函数g?x?，使当x???2,2?时， ?? g?x??f?x?，当x?D时，g?x?取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数 列。 （文）已知函数f?x??ax2?24?2b?b2x，g?x???1??x?a?，?a,b?R? 2（Ⅰ）当b?0时，若f?x?在?2,???上单调递增，求a的取值范围； （Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对?a,b?：当a是整数时，存在x0，使得f?x0?是f?x?的最大值，g?x0?是g?x?的最小值； （Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对?a,b?，试构造一个定义在D??x|x??2，且 x?2k?2,k?N?上的函数h?x?，使当x???2,0?时，h?x??f?x?，当x?D时，h?x?取 得最大值的自变量的值构成以x0为首项的等差数列。 （理）解：（1）若a、b、c?R，则 （2）f?x??ax?2?a?b?c3?abc（当且仅当a?b?c时取等号）。 312131??2即a?x在?0,2?x?x?a2?x2??0在?0,2?上恒成立， 222??上恒成立， ∵ 12x??0,2?，∴a2?2，即a?2， 2又∵ ?f?x??2?2?212??212??x??a?x???a?x??23???112a22?????????????x2?a2?x2??a2?x2?????2233????????????3∴x?a?22126x，即x?a时， 23fmax263936?6?63??a??a?1?a????， ?2?94226??3又∵x?6a??0,2?，∴a?0,6。 综上，得a?2,6 。 36a时，函数有最大值， 3???? 易知，f?x?是奇函数，∵x? ∴x??6a时，函数有最小值。 3???6??666???x???2,?a???a,2?时，f?x?单调递减；x???a,a?时，故猜测： 3333??????f?x?单调递增。 （3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。 如对x??4k?2,4k?2?,k?N，x?4k???2,2?，此时 g?x??g?x?4k??f?x?4k?， 即 g?x??a2?x?4k??1?x?4k?3,x??4k?2,4k?2?,k?N 。 2（文）解：（Ⅰ）当b?0时，f?x??ax2?4x， 若a?0，f?x???4x，则f?x?在?2,???上单调递减，不符题意。 ?0??a故a?0，要使f?x?在?2,???上单调递增，必须满足?4 ，∴a?1 。 ?2??2a（Ⅱ）若a?0，f?x???24?2b?b2x，则f?x?无最大值，故a?0， ∴f?x?为二次函数， a?0?要使f?x?有最大值，必须满足?，即a?0且1?5?b?1?5， 24?2b?b?0?此时，x?x0?4?2b?b2时，f?x?有最大值。 a4?2b?b2?a?Z，则 a又g?x?取最小值时，x?x0?a，依题意，有 a2?4?2b?b2?5??b?1?， 2∵a?0且1?5?b?1?5，∴0?a2?5?a?Z?，得a??1，此时b??1或b?3。 ∴满足条件的实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?。 （Ⅲ）当实数对?a,b?是??1,?1?,??1,3?时，f?x???x?2x 2 依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。 如对x??2k?2,2k?，k?N,x?2k???2,0?， 此时，h?x??h?x?2k??f?x?2k????x?2k??2?x?2k?， 2故h?x????x?2k??2?x?2k?,x??2k?2,2k?,k?N 2