湖南省长沙一中 2011届高三第六次月考
数学试题（理科）
（考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间 向量）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．若M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x（x－3）<0}，则M∩N＝ （ ） A．{x|0 4 则α的值是 πA． 6 πB． 3 πC． 4 πD． 2 （ ） 3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，又知α∩β＝m，且n?α，n?β， 则“n∥m”是“n∥α且n∥β”的 （ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三 号宿舍，则不同的安排方法种数为 （ ） A．6 B．9 C．12 D．18 x5．若f（x）＝f1（x）＝，fn（x）＝fn－1[f（x）]（n≥2，n∈N*），则f（1）＋f（2）＋? 1＋x ＋f（n）＋f1（1）＋f2（1）＋?＋fn（1）＝ A．n 9B． n＋1 nC． n＋1 D．1 （ ） 6．已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b被m除得的余数相同，则称a与b对 模m同余，记作a≡b（modm），例如：5≡13（mod4）．若/22010≡r（mod7），则r可以为 （ ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 7．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的 面积之比是 1 A． 3 1B． 2 2C． 3 3D． 4 （ ） 8．若函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x＋2）＝f（x），且x∈（－1,1）时，f（x）＝1－x2， 函数g（x）＝log2x，则函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间[－5,10]内零点的个数为 （ ） A．12 B．14 C．13 D．8 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上． (a－i)(1－i) 9．已知a是实数，是纯虚数，则a的值是 ． i 10．若x1，x2，x3，?，x2009，x2010的方差是2，则3（x1－1）,3（x2－1），?，3（x2009－1）,3 （x2010－1）的方差是 ． 11．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视 图的图形为 （填你认为正确的图序号） 12．已知函数f（x）＝－x2＋ax－2b．若a，b都是区间[0,4]内的数，则使f（1）>0成立的 概率是 ． 13．某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x（单位： 分钟），且x～N（60,100），已知P（x≤50）＝0．159．现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 ． 2 x21＋x2 14．已知关于x的方程9－（4＋a）·3＋4＝0有两个实数解x1，x2，则的最小值 x1x2 x x 是 ． 15．对有10个元素的总体{1,2,3，?，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A＝{1,2,3,4} 和B＝{5,6,7,8,9,10}，再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P15＝ ，所有Pij（1≤i 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） xxx 已知向量m＝（3sin，1），n＝（cos，cos2），f（x）＝m·n． 4442π （1）若f（x）＝1，求cos（－x）的值； 3 1 （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC＋c＝b，求函数f 2 （B）的取值范围． 17．（本小题满分12分） 在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会．如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品．已知某参与者答对 2 每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响． 3 （1）求该参与者获得纪念品的概率； （2）记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望． 18．（本小题满分12分） 如图，在体积为1的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1＝1，P为线段AB上的动点． （1）求证：CA1⊥C1P； （2）当AP为何值时，二面角Cπ 1－PB1－A1的大小为6？ 19．（本小题满分13分） 已知函数f（x）＝－x2＋ax－lnx（a∈R）． （1）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件； （2）当函数f（x）在[1 2，2]上单调时，求a的取值范围． 20．（本小题满分13分） 某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），2且sinα＝．现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、 5第二段、第三段?，第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，?，Cn－1Cn（如图所示），1且C0C1，C1C2，C2C3，?，Cn－1Cn与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ＝．试 4问： （1）每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盘山公路至半山腰（高 度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？ （2）若修建xkm盘山公路，其造价为x2＋100 a万元．修建索道的造价为22a万元 /km．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少． 21．（本小题满分13分） 2x＋11x 已知正项数列{an}的首项a1＝，函数f（x）＝，g（x）＝． 21＋xx＋2 1 （1）若正项数列{an}满足an＋1＝f（an）（n∈N*），证明：{}是等差数列，并求数列{an} an 的通项公式；