高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
七、直线和圆
1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围?0,??。如（1）直线xcos??3y?2?0的倾斜角的范围是____（答：[0，]?[?65?，?)）；（2）6过点P(?3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围??[?2?3,3],那么m值的范围是______
（答：m??2或m?4）
2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan?(?≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为k?y1?y2?x1?x2?；（3）直线的方向向量x1?x2?直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： kAB?kBC。a?(1,k)，
y的最大值、最小值分别为______（答：x如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数x,y满足3x?2y?5?0 (1?x?3)，则
2,?1） 33、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为by?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴的直线。
和斜率k，则直线方程为y?kx?b,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经
y?y1x?x1过P、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴(x,y)P(x,y)?111222y2?y1x2?x1的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为
xy??1，它ab不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成
?Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)
的直线的点斜式方程是___________（答：y?1??3x(?2）)；（2）直线(m?2)x?(m2?1y)?m(3?，?4不管)m怎样变化恒过点______（答：(?1,?2)）；（3）若曲线y?a|x|与y?x?a(a?0)有两个公共点，则a的取值范围是_______（答：a?1）
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为?1或直线过原点。如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）
4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b；（2）知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为y?k(x?x0)?y0，当斜率k不存在时，则其方程为x?x0；（4）与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0；（5）与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为Bx?Ay?C1?0.
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提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?CA?B22；
（2）两平行线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0间的距离为d?C1?C2A?B22。
6、直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0的位置关系： （1）平行?A； 1B2?A2B1?0（斜率）且B1C2?B2C1?0（在y轴上截距）（2）相交?A1B2?A2B1?0；
（3）重合?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0。 提醒：（1）
A1B1C1ABABC、1?1、1?1?1仅是两直线平行、相交、重??A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能
这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0垂直?A1A2?B1B2?0。如（1）设直线l1:x?my?6?0和l2:(m?2)x?3y?2m?0，当m＝_______时l1∥l2；当m＝________时l1?l2；当m_________时l1与l2相交；当m＝_________时l1与l2重合（答：－
1；m?3且m??1；3）；（2）已知直线l的方程为3x?4y?12?0，则与l平行，且2过点（—1，3）的直线方程是______（答：3x?4y?9?0）；（3）两条直线ax?y?4?0与x?y?2?0相交于第一象限，则实数a的取值范围是____（答：?1?a?2）；（4）设a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA?x?ay?c?0与bx?sinB?y?sinC?0的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)?0上一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程f(x,y)?f(x1,y1)?f(x2,y2)＝0所表示的直线与l的关系是____（答：平行）；（6）直线l过点（１，０），且被两平行直线3x?y?6?0和3x?y?3?0所截得的线段长为9，则直线l的方程是________（答：4x?3y?4?0和x?1）
7、到角和夹角公式：（1）l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重
1；
k2?k1(k1k2??1)；（2）l1与l2的夹角是指不大于直
1?k1k2k?k1?角的角?,??(0,]且tan?=︱2︱(k1k2??1)。提醒：解析几何中角的问题常用到
21?k1k2角公式或向量知识求解。如已知点M是直线2x?y?4?0与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：3x?y?6?0）
8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x?y?0对称，则点Q的坐标为_______（答：(b,a)）；（2）已知直线l1与l2的夹角平分线为y?x，若l1的方程为ax?by?c?0(ab?0)，那么l2的方程是___________（答：bx?ay?c?0）；（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________（答：y=3x＋3）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：18x＋y?51?0）；（5）已知ΔABC
合所转的角?，???0,??且tan?=
顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的
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方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：2x?9y?65?0）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知A?x轴，B?l:y?x，C（2，1），?ABC周长的最小值为______（答：10）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。
9、简单的线性规划： （1）二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y?kx?b或y?kx?b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；③设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若Ax1?By1?C与Ax2?By2?C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线l:y?kx?2与线段AB恒相交，则k的取值范围是__________（答：?－?，－3???1，＋??）
（2）线性规划问题中的有关概念：
①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。
②关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数；
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；
（3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件
?||xy||??11下，取最小值的最优解是____（答：（－1，1））；（2）
2）；（3）3不等式|x?1|?|y?1|?2表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如果实数x,y点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_________（答：t???x?y?2?0满足?x?y?4?0，则z?|x?2y?4|的最大值_________（答：21）
??2x?y?5?0（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。
10、圆的方程：
2⑴圆的标准方程：?x?a???y?b??r。
22⑵圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2＋E2－4F?0)，特别提醒：只有当
D2＋E2－4F?0时，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0才表示圆心为(?DE,?)，半径为221D2?E2?4F的圆（二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要222条件是什么？ （A?C?0,且B?0且D?E?4AF?0））；
x?a?rcos??⑶圆的参数方程：，其中圆心为(a,b)，半径为r。圆的参y?b?rsin?（为参数）
?数方程的主要应用是三角换元：x?y?r?x?rcos?,y?rsin?；x2?y2?t
222?x?rcos?,y?rsin?(0?r?t)。
⑷A?x1,y1?,B?x2,y2?为直径端点的圆方程?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0
22如（1）圆C与圆(x?1)?y?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为____________（答：
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；（2）圆心在直线2x?y?3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是x2?(y?1)2?1）
__________（答：(x?3)2?(y?3)2?9或(x?1)2?(y?1)2?1）；（3）已知P(?1,3)是圆
rcos??xy??rsin?（?为参数，0???2?)上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的
?值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：x2?y2＝4；
２
2?；3；（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的x?3y?4?0）
1x?3cos??）；（6）若M?{(x,y)|y?3sin?（为参数，0????)}，2
N??(x,y)|y?x?b?，若M?N??，则b的取值范围是_________（答：－3,32??）
斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：k?
??11、点与圆的位置关系：已知点M?x0,y0?及圆C：（1）?x-a???y?b??r2?r?0?，
2点M在圆C外?CM?r??x0?a???y0?b??r；（2）点M在圆C内?
2222CM?r??x0?a???y0?b??r2；（3）点M在圆C上?CM?r??x0?a?
２??y0?b??r2。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：
2222|a|?1） 132212、直线与圆的位置关系：直线l:Ax?By?C?0和圆C：?x?a???y?b??r2 （1）代数方法（判断直线?r?0?有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
与圆方程联立所得方程组的解的情况）：??0?相交；??0?相离；??0?相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则d?r?相交；d?r?相离；d?r?相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几
22何方法较简捷。如（1）圆2x?2y?1与直线xsin??y?1?0(??R,???222的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线ax?by?3?0与圆x?y?4x?1?0切于
22点P(?1,2)，则ab的值____（答：2）；（3）直线x?2y?0被曲线x?y?6x?2y?15?0所截得的弦长等于 （答：45）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆
22
?0是)圆C:(x-2)+(y-3)=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知M(a,b)(ab2，则O:x2?y2?r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:ax?by?rA．m//l，且l与圆相交 B．l?m，且l与圆相交 C．m//l，且l与圆相离
22D．l?m，且l与圆相离（答：C）；（6）已知圆C：x?(y?1)?5，直线L：mx?y?1?m?0。①求证：对m?R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆
?k?，k?z)C交于A、B两点，若AB?17，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②60或120 ③最长：y?1，最短：x?1）
13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r则（1）当O两圆外离；（2）当O|O?r时，|O?r1,r2，12??1r212??1r2时，两圆外切；（3）当r（4）当|O1O2???r1?r2<|O1O2??r1?r2时，两圆相交；1?r2|时，两
??x2y2圆内切；（5）当0?|O1O2???r1?r2|时，两圆内含。如双曲线2?2?1的左焦点为F1，
ab顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置
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关系为 （答：内切）
14、圆的切线与弦长：
(1)切线：①过圆x2?y2?R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0?yy0?R2，过圆
(x?a)2?(y?b)2?R2上一点
P(x0,y0)圆的切线方程是：
(x?a)(x0?a)?(y?a)(y0?a)?R2，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的
距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0（(x?a)2?(y?b)2?R2）外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为
x02?y02?Dx0?Ey0?F（(x0?a)2?(y0?b)2?R2）；如设A为圆(x?1)2?y2?1上动
点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：(x?1)2?y2?2）；
（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半
221a及圆的半径r所构2成的直角三角形来解：r?d?(a)；②过两圆C1:f(x,y)?0、C2:g(x,y)?0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)??g(x,y)?0，当???1时，方程f(x,y)??g(x,y)?0为两圆公共弦所在直线方程.。
15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!
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