初中数学二次函数中的图形构建及存在性
问题总复习试题及解答
一、二次函数中有关面积的存在性问题
例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于点A??10，?、B?3，0?两点，与y轴交
于点C?0，过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为?3?.以AB为直径作⊙M，D，并与⊙M的切线AE相交于点E，连结DM并延长交⊙M于点N，连结AN、AD.
(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD的面积为43，求直线PD的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
答案：解：（1）因为抛物线与x轴交于点A??10，?、B?3，0?两点，设抛物线的函数关系式为：y?a?x?1??x?3?，
∵抛物线与y轴交于点C?0， ?3?，∴?3?a?0?1??0?3?， ∴a?1.
所以，抛物线的函数关系式为：y?x?2x?3， 又y??x?1??4，
因此，抛物线的顶点坐标为?1 ，?4?．
22
(2）连结EM，∵EA、ED是⊙M，的两条切线， ∴EA?ED，EA?AM，ED?MN，∴△EAM≌△EDM 又四边形EAMD的面积为43，∴S△EAM?23，∴又AM?2，∴AE?23.
1AM·AE?23， 223或E2?1，?23. 因此，点E的坐标为E1?1，当E点在第二象限时，切点D在第一象限. 在直角三角形EAM中，tan?EMA?????
EA23 ??3，AM2，∴?EMA?60°∴?DMB?60°
过切点D作DF?AB，垂足为点F，
∴MF?1，DF?3
因此，切点D的坐标为2，3．
??
，23、D2，3的坐标代入得 设直线PD的函数关系式为y?kx?b，将E?1?????3k?????3?2k?b?3
解之，得????b?53?23??k?b?3?所以，直线PD的函数关系式为y??353x?. 33
当E点在第三象限时，切点D在第四象限.
同理可求：切点D的坐标为2，-3，直线PD的函数关系式为y?因此，直线PD的函数关系式为
??353x?. 33y??353353x?x?. 或y?3333
(3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积 又S四边形EAMD?2S△EAM，S△DAN?2S△AMD ∴S△AMD?S△EAM
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与⊙M相切，∴点D与点E在x轴同侧， ∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为y?2或y??2.
当y?2时，由y?x2?2x?3得，x?1?6； 当y??2时，由y?x2?2x?3得，x?1?2.
2、P21?6，2、P31?2，?2、故满足条件的点P的位置有4个，分别是P 11?6，P41?2，?2.
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.
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强化训练
★1、（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形
的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
yy _ AO _ Dx AOMDxB C B图2
C
答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
?a?1?4a?c?02∴? 解之得：?；故y?x?4为所求
?c??4?a?c??3(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
yP2P1?k?1?2k?b?0设BD的解析式为y?kx?b，则有?，?，
b??2?k?b??3??故BD的解析式为y?x?2；令x?0,则y??2，故M(0,?2)
AOMNCP3DxB
图3
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，?AMB?90? 易知BN=MN=1， 易求AM?22,BM?2 1??22?2?2；设P(x,x2?4)， ABM21122依题意有：ADx?4?4?2，即：?4x?4?4?2
22S解之得：x??22，x?0，故 符合条件的P点有三个：
P1(22,4),P2(?22,4),P3(0,?4)
★2、．矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O(0，0)、B(0，
3)、D(－2，0)，直线AB交x轴于点A(1，0)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；
(3)过点E作x轴的平行线EF交AB于点F．将直线AB沿轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H．请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S△PAG＝
3 S．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．y 4△PEH
H E F C B D O A G x