实验三 用FFT对信号作频谱分析
姓名： 班级： 学号： 一、实验目的
学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便正确应用FFT。
二、实验原理与方法
用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2?/N，因此要求2?/N?D。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此N要适当选择大一些。
周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。
三、实验内容及步骤
（1）对以下序列进行谱分析。
x1(n)?R4(n)?n?1,0?n?3? x2(n)??8?n,4?n?7
?0,其他n??4?n,0?n?3?x3(n)??n?3,4?n?7?0,其他n?选择FFT的变换区间N为8和16 两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线。并进行对比、分析和讨论。
（2）对以下周期序列进行谱分析。
x4(n)?cos?4n
x5(n)?cos(?n/4)?cos(?n/8)
选择FFT的变换区间N为8和16 两种情况分别对以上序列进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线。并进行对比、分析和讨论。 （3）对模拟周期信号进行谱分析
x6(t)?cos8?t?cos16?t?cos20?t
选择采样频率Fs?64Hz，变换区间N=16,32,64 三种情况进行谱分析。分别打印其幅频特性，并进行分析和讨论。
四、实验结果
(1) 实验源程序
% 用FFT对信号作频谱分析 clear all;close all
%实验内容(1)=================================================== x1n=[ones(1,4)]; %产生序列向量x1(n)=R4(n)
M=8;xa=1:(M/2); xb=(M/2):-1:1; x2n=[xa,xb]; %产生长度为8的三角波序列x2(n) x3n=[xb,xa];
X1k8=fft(x1n,8); %计算x1n的8点DFT X1k16=fft(x1n,16); %计算x1n的16点DFT X2k8=fft(x2n,8); %计算x1n的8点DFT X2k16=fft(x2n,16); %计算x1n的16点DFT X3k8=fft(x3n,8); %计算x1n的8点DFT X3k16=fft(x3n,16); %计算x1n的16点DFT %以下绘制幅频特性曲线
subplot(3,2,1);mstem(X1k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(1a) 8点DFT[x_1(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k8))])
subplot(3,2,2);mstem(X1k16); %绘制16点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(1b)16点DFT[x_1(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k16))])
subplot(3,2,3);mstem(X2k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(2a) 8点DFT[x_2(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k8))])
subplot(3,2,4);mstem(X2k16); %绘制16点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(2b)16点DFT[x_2(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k16))])
subplot(3,2,5);mstem(X3k8); %绘制8点DFT的幅频特性图
xlabel({'ω/π';'(3a) 8点DFT[x_3(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k8))])
subplot(3,2,6);mstem(X3k16); %绘制16点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(3b)16点DFT[x_3(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k16))])
%实验内容(2) 周期序列谱分析================================== N=8;n=0:N-1; ?T的变换区间N=8 x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k8=fft(x4n); %计算x4n的8点DFT X5k8=fft(x5n); %计算x5n的8点DFT N=16;n=0:N-1; ?T的变换区间N=16 x4n=cos(pi*n/4);
x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);
X4k16=fft(x4n); %计算x4n的16点DFT X5k16=fft(x5n); %计算x5n的16点DFT figure(2)
subplot(2,2,1);mstem(X4k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(4a) 8点DFT[x_4(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k8))])
subplot(2,2,3);mstem(X4k16); %绘制16点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(4b)16点DFT[x_4(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k16))])
subplot(2,2,2);mstem(X5k8); %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(5a) 8点DFT[x_5(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k8))])
subplot(2,2,4);mstem(X5k16); %绘制16点DFT的幅频特性图 xlabel({'ω/π';'(5b)16点DFT[x_5(n)]'});ylabel('幅度'); axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k16))])
%实验内容(3) 模拟周期信号谱分析=============================== figure(3) Fs=64;T=1/Fs;
N=16;n=0:N-1; ?T的变换区间N=16
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)16点采样 X6k16=fft(x6nT); %计算x6nT的16点DFT
X6k16=fftshift(X6k16); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),'.');box on %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'f(Hz)';'(6a) 16点|DFT[x_6(nT)]|'});ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k16))]) N=32;n=0:N-1; ?T的变换区间N=16
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)32点采样 X6k32=fft(x6nT); %计算x6nT的32点DFT X6k32=fftshift(X6k32); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),'.');box on %绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'f(Hz)';'(6b) 32点|DFT[x_6(nT)]|'});ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k32))]) N=64;n=0:N-1; ?T的变换区间N=16
x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)64点采样 X6k64=fft(x6nT); %计算x6nT的64点DFT X6k64=fftshift(X6k64); %将零频率移到频谱中心 Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F
k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT对应的采样点频率（以零频率为中心） subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),'.'); box on%绘制8点DFT的幅频特性图 xlabel({'f(Hz)';'(6c) 64点|DFT[x_6(nT)]|'});ylabel('幅度'); axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k64))])
（2）实验运行结果及其分析
为了便于观察频谱、读取频率值对实验结果进行分析，以下对π进行了归一化，即以下分析均以?/?作为横坐标。
2?kN 1.实验内容一：
?k?k?0,1,2,?,N?1
幅度2000.511.5ω/π(1a) 8点DFT[x1(n)]2幅度4420011.5ω/π(1b)16点DFT[x1(n)]0.5220幅度20幅度10000.511.5ω/π(2a) 8点DFT[x2(n)]2100011.5ω/π(2b)16点DFT[x2(n)]0.52幅度10000.511.5ω/π(3a) 8点DFT[x3(n)]2幅度2020100011.5ω/π(3b)16点DFT[x3(n)]0.52
实验结论：
图（1a）和（1b）说明 x1(n)?R4(n)的8点DFT和16点DFT分别是x1(n)的频谱函数的8点和16点采样；因为 x3(n)?x2((n?3))8R8(n)，所以，x3(n)与x2(n)的8点DFT的模相等，如图（2a）和（3a）。但是，当N=16时， x3(n)与x2(n)不满足循环移位关系，所以图（2b）和（3b）的模不同。
2.实验内容二：
4幅度幅度64200.511.5ω/π(4a) 8点DFT[x4(n)]2000.511.5ω/π(5a) 8点DFT[x5(n)]232108幅度幅度8642011.5ω/π(4b)16点DFT[x4(n)]0.520011.5ω/π(5b)16点DFT[x5(n)]0.526420
实验结论： 对周期序列谱分析
x4(n)?cos(n)的周期为8，所以N=8和N=16均是其周期的整数倍，得到正确的单一
4频率正弦波的频谱，仅在0.25π处有1根单一谱线。如图(4a)和(4b)所示。
?x5(n)?cos(n)?cos(n)的周期为16，所以N=8不是其周期的整数倍，得到的频谱不正
48确，如图(5a)所示。N=16是其一个周期，得到正确的频谱，仅在0.25π和0.125π处有2根单一谱线,如图(5b)所示。
??3.实验内容三：