2012江苏省南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试题数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1．?已知集合A??1，?1?，B??1，0?，那么A?B＝ ▲ ．??1，，01?
2． 已知z??a?i??1?i?（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则
a= ▲ ．1
3． 若抛物线y?2px?p?0?上的点A?2，m?到焦点的距离为6，则p= ▲ ．8
22上随机取一x0，则使得f(x0)≥0的概率为 ▲ ．4． 已知函数f(x)?log2x．在区间?，2?5． 若直线a?2ax?y?1?0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是 ▲ ．??2，0?
2?1???2 3??6． 某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图
如图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的
开始 i?0，a?4标准差为 ▲ ．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）2
79
83456793a?
i?3a?2a?2
Y i?i?1N 输出a 结束 （第7题）
（第6题）
77． 若执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为 ▲ ．
38． 已知单位向量a，b的夹角为120°，那么2a?xb?x?R?的最小值是 ▲ ．3 9． 已知角?的终边经过点P?1，?2?，函数f(x)?sin??x??????0?图象的相邻两条对称轴之间的
距离等于
π，则310?π?f??= ▲ ．?
10?12?231010．各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7?4，a6?8，若函数f?x??a1x?a2x?a3x?????a10x的导数为f??x?，则f?()? ▲ ．1255 411．若动点P在直线l1：x?y?2?0上，动点Q在直线l2：x?y?6?0上，设线段PQ的中点为
M(x0,y0)，且(x0?2)2?(y0?2)2≤8，则x02?y02的取值范围是 ▲ ．[8，16]
12．已知正方体C1的棱长为182，以C1各个面的中心为顶点的凸多面体为C2，以C2各个面的中心为
顶点的凸多面体为C3，以C3各个面的中心为顶点的凸多面体为C4，依次类推．记凸多面体Cn的棱长为an，则a6= ▲ ．2
13．若函数f?x??|2x?1|，则函数g(x)?f?f?x???lnx在（0，1）上不同的零点个数为 ▲．3
AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若14．已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为?CD2?CE2?DE2?426，则OD?OE的最大值是 ▲ ．
39二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证 ．．．．．．． 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?msinx?2cosx ?m?0?的最大值为2． （1）求函数f(x)在?0，π?上的单调递减区间； （2）△ABC中，f(A?ππ)?f(B?)?46sinAsinB，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，44且C=60°，c?3，求△ABC的面积．
解：（1）由题意，f(x)的最大值为m?2，所以m?2=2．???????????2分 而m?0，于是m?22π2，f(x)?2sin(x?)．???????????????4分
4ππ3πf(x)为递减函数，则x满足2kπ+≤x?≤2kπ+ ?k?Z?，
242 即2kπ+π5π≤x≤2kπ+?k?Z?．????????????????????6分 44?π?所以f(x)在?0，π?上的单调递减区间为?，π?． ?????????????7分
?4?c3?=23． sinCsin60? （2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得2R? 化简f(A?ππ)?f(B?)?46sinAsinB，得 44 sinA?sinB?26sinAsinB．?????????????????????9分
由正弦定理，得2R?a?b??26ab，a?b?222ab． ①
由余弦定理，得a?b?ab?9，即?a?b??3ab?9?0． ② ???????11分
将①式代入②，得2?ab??3ab?9?0． 解得ab?3，或 ab?? S?ABC?223（舍去）．???????????????????13分 2331．???????????????????????14分 absinC?42
16．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，D、E分别是棱BC、
AB的中点，点F在棱CC1上，已知
C D O E A （第16题）
B A1 F C1 M B1
AB?AC，AA1?3，BC?CF?2．
（1）求证：C1E//平面ADF；
（2）设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM?平面ADF？ 解：（1）连接CE交AD于O，连接OF． 因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，
CFCO2??． CC1CE3从而OF//C1E．??????????????????????????????3分 OF?面ADF，C1E?平面ADF，
所以C1E//平面ADF．??????????????????????????6分 （2）当BM=1时，平面CAM?平面ADF． 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
由于B1B?平面ABC，BB1?平面B1BCC1，所以平面B1BCC1?平面ABC． 由于AB=AC，D是BC中点，所以AD?BC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD?平面B1BCC1．
而CM?平面B1BCC1，于是AD?CM．???????????????????9分 因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以Rt?CBM≌Rt?FCD，所以CM?DF． ???11分
DF与AD相交，所以CM?平面ADF．
CM?平面CAM，所以平面CAM?平面ADF．???????????????13分
当BM=1时，平面CAM?平面ADF．???????????????????14分
17．（本小题满分14分）
x2y20)，离心率为e. 已知椭圆2?2?1 ?a?b?0?的右焦点为F1(2，ab（1）若e?2，求椭圆的方程； 2（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线
段MN为直径的圆上． ①证明点A在定圆上；
②设直线AB的斜率为k，若k≥3，求e的取值范围．
解：（1）由e?2，c=2，得a=22，b=2． 2x2y2 所求椭圆方程为??1．??????????????????????4分
84 （2）设A(x0，y0)，则B(?x0，-y0)，
y???2?x0?0?．??????????????????6分 ?，N?2，2???uuuruuur ① 由题意，得OM?ON?0．
故M? 化简，得x0?y0?4，所以点
22?x0?2y0，22?A在以原点为圆心，2为半径的圆上． ????8分
?y0?kx0?x02k2x02?22y01k21?2?2?1?x0 ② 设A(x0，y0)，则?2?2?1??a?2?2?(1?k2)． bbab4?x2?k2x2?4?a022?0?x0??y0?4 将e?c24?，b2?a2?c2?2?4，代入上式整理，得 aaek2(2e2?1)?e4?2e2?1． ??????????????????????10分
因为e?2e?1?0，k2>0，所以 2e?1?0，e?4222．??????????12分 242?e4?2e2?1?e?8e?4≥0,所以 k? ≥3．化简，得?22e2?12e?1?0.??2 解之，得
21 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为??的方向射到边BC上点P1后，依次反射（入 2D P3 P2 C P1 A P4 P0 B ，P4处． 射角与反射角相等）到边CD，DA和AB上的P2，P3（1）若P4与P0重合，求tan?的值； （第18题） （2）若P4落在A、P0两点之间，且AP0=2．设tan?=t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函 数，并求S的最大值． ?x0tan?，PC?2?x0tan?．??????????????2分 解 ：（1）设P0B?x0，则PB11P2C?分 2?x0tan?PC221=．??????????4?x0，P2D?3?x0??tan?tan?tan?tan?P3D?(3?x0)tan??2，P3A?4?(3?x0)tan?， AP4?4?(3?x0)． ?????????????????????????6分 tan?42?6，即tan??． ???????8分 tan?3由于P4与P0重合，AP4?P0B?3，所以（2）由（1），可知AP4?4?4． tan?22?tan??1，即?t?1． ????????10分 33因为P4落在A、P0两点之间，所以 S=S四边形ABCD?S?P0BP1?S?PCP?S?P2DP3?S?P3AP4 12 112?2?1??6?tan??(2?tan?)??1???4?22tan??tan??2?24???58??34tan??? tan???1??4??4? ?(4tan??2)?(4?4tan?)?2??tan??12???32??17t??．????????????????????????????14分 t??由于 12?122?=32?451． ?t?1，所以32??17t??≤32?217t?t?t3?故S的最大值为32?451． ???????????????????????16分 19．（本小题满分16分） 已知函数f(x)??x?x，g(x)?alnx，a∈R． 32，e?，都有g(x)≥?x?(a?2)x恒成立，求a的取值范围； （1）若对任意x??12（2）设F?x?????f?x?，x?1，若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)上总存 gx，x≥1．????在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在解：（1）由g(x)≥?x?(a?2)x，得?x?lnx?a≤x?2x． 2y轴上，求a的取值范围． 2，e?，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx?x，x?lnx?0． 由于x??1