试卷十二试题与答案
一、 填空 20% （每空 2分）
1、 设集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，定义A上的二元关系“≤”为
x ≤ y = x|y , 则x?y= 。
nA?{x|x?2,n?N}，定义A上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代2、 设
数系统中运算*关于 运算具有封闭性。 3、 设集合S={α，β，γ，δ，δ}，S上的运算*定义为
* α β γ δ δ
则代数系统
4、 在群坯、半群、独异点、群中 满足消去律。 5、 设
则G = 。 6、 拉格朗日定理说明若
R= 。
若|G|=n, |H|=m 则m和n关系为 。 7、 设f是由群
则f的同态核Ker(f )= 。
α α β γ δ δ β β δ α α δ γ γ α β γ α δ δ γ α δ γ δ δ δ β γ δ 二、 选择 20% （每小题 2分）
1、设f是由群
A、G?的子群； B、G的子群 ； C、包含G?； D、包含G。
2、设 是环，?a,b?A，a·b的关于“+”的逆元是（ ）。
A、(-a)·(-b)； B、(-a)·b； C、a·(-b)； D、a·b 。
3、设 是一代数系统且是Abel群，如果还满足（ ）是域。
A、是独异点且·对+可分配；
B、是独异点，无零因子且·对+可分配； C、是Abel群且无零因子 ； D、是Abel且·对+可分配。
4、设是一代数系统，+、·为普通加法和乘法运算，当A为（ ）
时，是域。
{x|x?a?b35,a,b均为有理数}；A、 {x|x?a?b5,a,b均为有理数} ；B、
C、
{x|x?a,a,b?I?,且a?kb}b ； D、{x|x?0，x?I}。
5、设是一个格，由格诱导的代数系统为?A ,? ,??，则（ ）成立。
A、?A,?,??满足?对?的分配律；B、?a,b?A,a?b?a?b?b； C、 ?a,b,c?A,若a?b?a?c 则b?c ； D、?a,b?A,有a?(a?b)?b且 a?(a?b)?b。
6、设是偏序集，“?”定义为：?a,b?A,a?b?a|b，则当A=（ ）
时，是格。
A、{1,2,3,4,6,12}； B、{1,2,3,4,6,8,12,14}； C、{1,2,3,?，12}； D、{1,2,3,4}。 7、设?A ,? ,??是由格诱导的代数系统，若对?a,b,c?A，当b?a时，
有（ ）是模格。 A、a?(b?c)?b?(a?c)； B、c?(a?c)?a?(b?c)； C、a?(b?c)?b?(a?c)； D、c?(a?c)?b?(a?c)。 8、在（ ）中，补元是唯一的。
A、有界格； B、有补格； C、分配格； D、有补分配格。
9、在布尔代数?A ,? ,?,??中，b?c?0当且仅当（ ）。
A、b?c； B、c?b； C、b?c； D、c?b。
10、设?A ,? ,?,??是布尔代数，f是从An到A的函数，则（ ） 。
A、 f是布尔代数； B、f能表示成析取范式，也能表示成合取范式； C、若A={0，1}，则f一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式； D、若f是布尔函数，它一定能表示成析（合）取范式。
三、8%
设A={1，2}，A上所有函数的集合记为AA, ?是函数的复合运算，试给出AA上运算?的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元。
四、证明42%
1、 设
a*b?a?b?a?b，则0
n2、 设
k )。（10分）
3、 证明如果f是由到
4、 设是一个含幺环，且任意a?A都有a·a=a，若|A|≥3则不
可能是整环。（8分）
5、 K={ 1, 2 , 5 , 10 , 11 , 22 , 55 ,110 }是110的所有整因子的集合，证明：具有全上界110
和全下界1的代数系统< K , LCM , GCD , ˊ >是一个布尔代数。（（10分）
?x?K,x??110x）。
五、布尔表达式 10%
设E(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x1?x3)是布尔代数?{0,1},?,?,的一个布尔表达式，试写出其析取范式和合取范式。（10分） 答案：
?上
一、填空 20%（每空2分）
1、LCM（x,y）；2、乘法；3、α、δ，γ、δ；4、群；5、G?{a,a,?a?12n?1，an?e}；
6、{?a,b?|a?G,b?G,a*b?H}、m/n；7、{x|x?G 且 f(x)?e?}
二、选择 20%（每小题 2分）
题目 答案
三、8%
1 B 2 B，C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 A 8 D 9 C 10 C，D AA?{f1,f2,f3,f4}，其中： 解：因为|A|=2，所以A上共有2=4个不同函数。令
2
f1(1)?1,f1(2)?2;? f2(1)?1,f2(2)?1;f3(1)?2,f3(2)?2;f3f3 f4(1)?2,f4(2)?1
f1 f1 f2 f2 f4 f4 f1 f2 f3 f2 f3 f2 f3 f2 f3 f2 f3 f4 四、证明 42%
1、（8分） 证明：
f3f3f2 f1 f1为AA中的幺元，f1和f4有逆元。
[幺] ?a?R ，0*a?0?a?0?a?a,a*0?a?0?a?0
即 0*a?a*0?a?0为幺元
[乘] ?a,b?R，由于+，·在R封闭。所以a*b?a?b?a?b?R即*在R上封闭。 [群] ?a,b,c?R
(a*b)*c?(a?b?a?b)*c?a?b?a?b?c?(a?b?a?b)?c?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?ca*(b*c)?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?c所以(a*b)*c?a*(b*c)因此 ， 〈R，*〉是独异点。 2、（10分）
证明：（1）?d?GCD(n,k),设n?d?n1,k?d?k1
?e?ank1?adn1k1?akn1?bn1
（2）若b的阶不为n1，则b阶m ?an由（1）、（2）知，元素b的阶为d 3、（6分） akm?e,adk1n1e?e，即adn1k1enk1e?e，?k1有因子l，这与d?GCD(n,k)矛盾。 ?a,b?A,g?f(a☆b)?g(f(a☆b))?g(f(a)*f(b))?g(f(a))△g(f(b))?g?f(a)△g?f(b)所以g?f是由到 4、（8分） 证明：反证法：如果是整环，且|A|≥3，则?a?A,a??,a?1且a?a?a 即有a??,a?1??且a?(a?1)?a?a?a?a?a??，这与整环中无零因子矛盾。 所以不可能是整环。 5、（10分） （1） 代数系统 诱导的，其Hasst图为 Hass图中不存在与五元素格同构的子格。 所以 如:22??11022?5,LCM(22,5)?110,GCD(22,5)?1即任元素都有补元，所以 五、布尔表达式 10% 解：函数表为： x1 x2 x3 E(x1,x2,x3) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 E(x1,x2,x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)析取范式： ?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3) 合取范式：E(x1,x2,x3)?(x1?x?2x3)?(x1?x2?x3) 和