第六章学习小结
姓名：张亚杰班级：机械 1505班学号：S20150232
一、 本章学习体会
1、在工程实际中经常会遇到一些原函数难于表出，或者原函数的表达式过于复杂，或者被积函数以离散的数值给出，这时本科时学的牛顿——莱布尼茨公式就无法计算了，本章是基于上述情况给出一个近似求解定积分的计算方法。 2、数值积分的基本思想是：用简单函数P(x)近似代替被积函数，然后建立多项式的积分公式，这样就将积分求值问题转换为了被积函数数值的计算，避开了牛顿——莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难。3、数值积分是数值逼近的一个重要内容，也是插值函数的一个直接应用。4、本章重点是牛顿—科特斯求积公式和高斯型求积公式。 二、知识构图：
. 数值积分 求积公式 代数精度 一般形式?baf(x)dx??Akf(xk)a?x0?x1???xn?bxk?求积节点Ak求积系数 k?0n（1）定义如果求积公式(6.1)当f(x)为任何次数不高于m的多项式时都成为等式,而当f(x)为某个m+1次多项式时(6.1)不能成为等式,则称求积公式(6.1)具有m次代数精度.（2）判断方法：如果求积公式中当f(x)为1,x,x2,?,xm时都成为等式,而当f(x)为xm?1时不能成为等式,则求积公式(6.1)具有m次代数精度 利用前面的拉格朗日插值公式知识，求积公式中Ak通过插值基函数lk(x)积分求A?插值型求积出。两个定理:1、n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数度2、n+1个节点的求积公式如果至少具有n次代数度,则它是插值型求积公式。 又称等距节点的求积公式（将区间n等分，步长h相等）。形式：?牛顿-科特斯公式 ba(n)f(x)?(b?a)?ckf(xk)其中Ck?0n(n)knn(?1)n?k2、n=1时是?[?(t?j)]dt。?0k!(n?k)!nj?0j?k梯形公式n=2时为抛物线公式。n=3时为Simpon3/8公式n=4时为Cotes公式。3、理解并掌握以上四个公式的代数精度和截断误差。 牛顿-科特斯求积公式当n大于8时具有不稳定性，因此不可能通过提高阶数的方法提高精度，通过将区间等分，再在每个区间上用低阶公式，这种方称为复合求积法。1、复化梯形公式一般公式和截断误差，复化梯形公式收敛具有数值稳定性。2、复化Simpon公式的一般形式和截断误差，复化Simpon公式收敛且具有数值稳定性。3、缺点：当精度比较高时计算量大，为达到所要求的精度，一般无法选择合适的步长。 复化求积法 高斯型求积公式 定义 ?ba?(x)f(x)dx??Akf(xk)这种带权积分公式如果具有2n?1次代数精度，节点k?1nxk(k?0,1,...,n)为高斯点，相应的公式为高斯型求积公式。优点：使用节点少精度高一般形式：高斯-勒让德求积公式 ?1?1f(x)dx??Akf(xk)区间为[-1,1],高斯点k?1n为勒让德多项式的零点 . 高斯-拉盖尔求积公式 一般形式???0区间为?0,??，高斯点为ef(x)dx??Akf(xk)，?xk?1n 高斯-切比雪夫求积公式 高斯-埃米尔特求积公式 拉盖尔多项式的零点 一般形式：?????e?x2f(x)dx??Akf(xk)，区间为k?1n???,??，高斯点为埃米尔特多项式零点。 一般形式：?1f(x)1?x2?1dx??Akf(xk)其中xk?cosk?1n2(n?k)?1?,2nAk??n,k?1,2,?,n，高斯点为切比雪夫多项式零点。 三、思考题
1、牛顿—科特斯求积和高斯求积节点分布有何不同？对同样数目的节点，两种求法哪种更精确？为什么？
答：牛顿—科特斯求积时，将积分区间
n等分，求积节点是n?1个等距节点，高
斯求积公式的节点称为高斯点，一般是不等距点。
对于同样数目的节点，高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式，更精确些。
2、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精度是多少？为何称它是具有最高代数精度的求积公式？答：对于
n个求积节点，若求积公式具
有2n?1次代数精度，则称其节点为高斯点，相应的求积公式为高斯型求积公式。 插值型求积公式的节点a?x0?x1?????xn?1?b是高斯点的充分必要条件是这些节点为零点的多项式I?T
与任何次数不超过n的多项式p(x)带权?(x)正交，即?高斯型求积公式的代数精度是2n?1，次。
bap(x)?n(x)?(x)dx?0
n个求积节点的求积公式的代数精度最高为2n?1四、测验题
''如果f(x)?0，证明用梯形公式计算积分I??baf(x)所得的结果比准确值I大，并说明几何
意义。 解：
采用梯形公式计算积分时其余项为：
f''(?)RT??(b?a)3,??[a,b]
12又因为f(x)?0且b?a 所以RT?0 又因为RT?I?T
所以I?T即计算值比准确值大。
其几何意义为，f(x)?0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
''''