单元测试九 立体几何
同P279-282 将原来第2、6、7、11、14、16、18、20题替换为如下各题： 2、（11.浙江）下列命题中错误的是（ D ）
（A）如果平面??平面β，那么平面?内一定存在直线平行于平面β
（B）如果平面?不垂直于平面β，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面β （C）如果平面??平面γ，平面??平面γ，????l，那么l?平面γ （D）如果平面??平面β，那么平面?内所有直线都垂直于平面β
6、（11.辽宁）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD?底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ D ） S
（A） AC?SB
（B） AB∥平面SCD
D C （C） SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
（D） AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角。
A B
提示：选项A正确，∵SD?底面ABCD ，∴ SD?AC，又ABCD为正方形。∴BD?AC ∴AC?平面SBD，AC?SB；选项B正确，∵AB∥CD，CD?平面SCD ∴AB∥平面SCD； 选项C正确，设AC∩BD=O，连SO则SA、SC与平面SBD所成角分别是∠ASO、∠CSO，易知这两个角相等；D错误，AB与SC所成角等于∠SCD，而DC与SA所成角是∠SAB，这两个角不相等。 7、（11.金华模拟）有两条不同的直线m,n与两个不同的平面?、β，下列命题正确的是（ D ）
（A）m∥?,n∥β,且?∥β，则m∥n （B）m??,n?β,且??β，则m∥n （C）m∥?,n∥β,且??β，则m∥n （D）m??,n∥β,且?∥β，则m?n 解析：A中除m∥n外，还可能相交异面；B中只含m?n，B不正确； C中除m∥n外，还有相交或异面，C不正确；故选D 11、（11.新课标全国卷）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，
BC=23，则棱锥O-ABCD的体积为83 解析：设矩形对角线AC，BD交于点O，则BO1，则BO1=23，因此OO1=1122OB?O1B=2，则V=Sh=?6?23?2?83 3314、（11.全国）已知平面?截一球面得圆M，过圆心从且与?成60?二面角的平面β截该球面得圆N，若该球面半径为4，圆M的面积为4?，则圆N的面积为13?
解析：设圆N半径为r，球心为O，平面????AB，其中线段AB是圆M的一条直径，连接OM，ON，MN，NA，NB，过点M在?作AB的垂线交圆M于点C，则有NA=NB；
又M为AB中点，所以NM?AB，?NMC=60?又AB?OM，AB?MN，所以AB?平面OMN；又M为AB中点；又AB?平面CMN，因此平面OMN、CMN重合，即O，C，M。N四点共面，在ONCM中，?OMN=?OMC-?NMC=90?-60?=30?，?OMN=90?，OM=42?22=23，ON=
1OM=3。因此，球心O到?距离等于ON=3，截面圆N2的半径r=42?3?13，截面圆N面积?r?13?。
216．（本小题满分12分）（12.江西八校）已知一个空间几何体的三视图如下图所示（长度单位m） (1)请画出该几何体的直观图，并求几何体体积； （2）证明：A1C?平面AB1C1； （3）若D是棱CC1的中点，在棱AB上。
取中点E，判断DE是否平行平面AB1C1，并证明你的结论。 A（A1） A A 1
A（C） A1（C1）
3
1 B1 B（C） B（C） 11 C（C1） B（B1） B 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 解：（1）几何体直观图如图，四边形BB1C1C是矩形，BB1=CC1=3，BC=1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形县城垂直于底面BB1C1C，体积V=
（2）证明：??ACB=90? ? BC?AC
又?三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱 ?BC?CC1
?AC1?CC1?C
13?1?3?3?(m3) 22A
A1
?BC?平面ACCA，
1
1
? BC?A1C， ? B1C1∥BC BC?A1C
?四边形ACC1A1为正方形 ? A1C?AC1
?B1C1?AC1=C1 ? A1C?平面AB1C1
?C B
C1
（3）当E为棱AB中点时，DE∥平面AB1C1
证明：如图，取BB1中点F，连接EF，FD，DE ?D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点， ?EF∥AB1 AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1
?EF∥平面AB1C1
同理可得FD∥平面AB1C1
又EF?平面DEF ?DE∥平面AB1C1
A
B1
A1
E
C B
F
D C1
B1
18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，DP，DA，DC两两互相垂直，且DP=DA=DC=2，点B
?,M是AB的中点，N是PC上一点。 在圆D上，且?AB=BC（理）（1）试确定点N的位置，使得MN∥平面PAD，并说明理由 及求
P
PN的值； PCN
（2）在（1）下，求二面角M-PC-D的余弦值。 （文）（1）求四椎锥P-ABCD的体积；
D
C
M
A
B
（2）试确定点N的位置
使得MN∥平面PAD，并说明理由及求
PN的值； PCP
N
（理）解：（1）如图，过M作MQ∥AD交CD于点Q， 过Q作QN∥DP交PC于点N，连接MN， 则MN∥平面PAD，理由如下：
?MQ∥AD，MQ?平面PAD，AD?平面PAD ?MQ∥平面PAD，同理QN∥平面PAD， 而MQ?QN=Q
? 平面MQN∥平面PAD，
D
Q
H
C
MN?平面MQN
?MN∥平面PAD 过B作BH∥AD交CD于点H
? 由AD?CD知BH?CD，又?AB?BCA M B
得?BDH=45?，?BDH为等腰直角三角形上 由BD=2 得DH=2，M是AB中点， AD∥MQ∥BH 得Q也是DH的中点
?DQ=1DH=222，QC=DC-DQ=2- 22222?22而QN∥DP
?PN=DQ=PCQC?22?1 7（2）以D为原点，DA、DC、DP分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标第，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（
2?22，，0） 22?????????2?22?PC=（0，2，-2）， PM=（，，-2）
22?设平面PCM的一个法向量为a=（x,y,z） ??????2y?2z?0??PC?a?0? 得 ????????2?22??PM?a?0x?y?2z?0??22
取z=1 有 y=1, x=5?32 ?a=(5?3??2,1,1) 又平面PCD的一个法向量为n=（1，0，0）
?????a?n230?15cos=???，又二面角M-PC-D为锐角，所以二面角M-PC-D
15a?n的余弦值为
230?15。
15（文）解：（1）由DP、DA、DC两两互相垂直，且DP=DA=DC=2，
?? 有S AB?BC四边形ABCD?S?ADB?S?BCD?22
?四棱锥P-ABCD的体积V=1S3四边形ABCD?PD?42 3（2）同理科第（1）问 20．（12.江西八校）在如图所示的几何体中，三条直线AE、AC、BC两两互相垂直，且
D AC=BC=BD=2AE，AE∥BD，M是AB中点。
（1）求证：CM?EM；
E
（2）求直线EM与平面CDE所成角的余弦值。
??AB?AE=A ?CM?平面ABE ? CM?EM
证明：（1） ?M是AB的中点，AC=BC
CM?平面ABC AE?CM
?A （2）以A为原点，AC、AE所在直线分别为y轴、z轴建立空间 直角坐标系 设AE=1，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，1） M B（2，2，0），D（2，2，2），M（1，1，0）
C
B
?EM=（1，1，-1），CD=（2，0，2），CE=（0，-2，1）
?设n=（x,y,z）是平面CDE的一个法向量。
????????????????n?CD?0?2x?2z?0?则n?CD，n?CE ????? 即 ? 取y=-1 ??2y?z?0CE?0???n?则n=（2，-1，-2）
??????????????????????????n?EM33?cos
22????????6所以cos?=cos[-
23