第六章?数 列
第一节 数列的概念与简单表示
本节主要包括2个知识点： 1.数列的通项公式；
突破点(一) 数列的通项公式
[基本知识]
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
4．Sn与an的关系
??S1，n＝1，已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝?这个关系式对任意数列均
?Sn－Sn－1，n≥2，???
2.数列的性质.
成立．
[基本能力]
1．判断题
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝项．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．填空题
(1)已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，则数列{an}的一个通项公式为________．
1
，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一2an－1
答案：an＝2n－1(n∈N*)
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1
答案：
5
(3)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________________．
??2，n＝1，
答案：an＝?
?2n－1，n≥2?
an，则a2＝________. 2an＋3
[全析考法] 利用数列的前几项求通项 给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系．
[例1] (1)(2018·江西鹰潭一中期中)数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是( ) A．an＝n2 C．an＝(－1)n1n2
＋
B．an＝(－1)nn2 D．an＝(－1)n(n＋1)2
(2)(2018·山西太原五中调考)把1,3,6,10,15，…，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第7个三角形数是( ) A．27 C．29
B．28 D．30
[解析] (1)法一：该数列中第n项的绝对值是n2，正负交替的符号是(－1)n＋1，故选C.
法二：将n＝2代入各选项，排除A，B，D，故选C.
(2)观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即an＝an－1＋n(n≥2)．所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.故选B.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
由数列的前几项求通项公式的思路方法
(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控． (3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
[提醒] 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．
利用an与Sn的关系求通项 ??S1，n＝1，数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝?通过纽带：an＝Sn
?Sn－Sn－1，n≥2，?
－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．
[例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn＝(－1)n1·n，求a5＋a6及an；
＋
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
[解] (1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)] ＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，
??6，n＝1，
由于a1不适合此式，所以an＝?
n－1
3＋2，n≥2.??2·
[方法技巧]
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
利用递推关系求通项 [例3] (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式． n－1
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式． (3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． (4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝[解] (1)因为an＋1－an＝3n＋2， 所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1
当n＝1时，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式，
2n3
所以an＝n2＋. 22
n－1
(2)因为an＝a(n≥2)，
nn－1n－21
所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.
2n－1
n－1a11121
由累乘法可得an＝a1···…·n＝n＝n(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝n.
23(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1
＝3，所以数列{an＋1}为n?3n＋1?
(n≥2)． 2
2an，求数列{an}的通项公式． an＋2
等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.
(4)∵an＋1＝
，a1＝1，∴an≠0， an＋2
2an111111∴＝a＋，即－a＝，
n2n2an＋1an＋11
又a1＝1，则＝1，
a1
?1?1
∴?a?是以1为首项，为公差的等差数列．
2?n?
111n1
∴a＝＋(n－1)×＝＋，
a1222n2∴an＝(n∈N*)．
n＋1
[方法技巧] 典型的递推数列及处理方法
递推式 an＋1＝an＋f(n) an＋1＝anf(n) an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0) an＋1＝ Ban＋CAan3an 2an＋3方法 叠加法 叠乘法 示例 a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1a1＝1，a＝2n n化为等比数列 a1＝1，an＋1＝2an＋1 化为等差数列 a1＝1，an＋1＝(A，B，C为常数)
[全练题点]
1.[考点一](2018·湖南衡阳二十六中期中)在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为( )
A．11 C．13
B．12 D．14
解析：选C 观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是与它相邻的前两项的和，所以x＝5＋8＝13，故选C.
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2.[考点一]数列1，－，，－，…的一个通项公式是( )
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