抛物线重难点复习
一．知识点总结
标准y2??2px(p?0)2y?2px(p?0) 方程 x2?2py(p?0) x2?2py(p?0) 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 通径 p(,0) 2px?? 2x?0 (?p,0) 2px? 2x?0 p(0,) 2py?? 2p(0,?) 2py? 2y?0 y轴 y?0 y轴 x轴 (0,0) e?1 x轴 (0,0) e?1 2p (0,0) e?1 (0,0) e?1 1.参数p的几何意义是焦点到准线的距离。p越大，抛物线开口越大，反之越小。
2.抛物线C的焦点为F,焦准距为p,M是C上的点
p(1)MFmin?OF?;(2)若MF与对称轴垂直，则MF?p.
2(3)若M(x0,y0)是抛物线y2??2px(p?0)上的点则MF??x0?(4)若P(x0,y0)是抛物线x2??2py上的点，则PF??y0?(5).若MF与抛物线对称轴的夹角为?(??90?)，则MF?p 2p 2pp(MF?p)orMF?(MF?p)1?cos?1?cos?1(6)以MF为直径的圆与坐标轴相切(MF的中点到坐标轴的距离为MF)
23.过焦点F的直线l交抛物线于点A(x1,y1)、B(x2,y2)，记直线l的斜率为k,倾斜角为?.
2pp2（1）若抛物线C:y?2px,则AB?(x1?x2)?p?,S?AOB? 2sin?2sin?2pp22 （2）若抛物线C:x?2py,则AB?(y1?y2)?p?，S?AOB?cos2?2cos?112(3)焦点弦的最小值为2p(通径);??
AFBFp2p2p2 22（4）若抛物线C:y?2px,则y1y2??p,x1x2?;若抛物线C:x?2py,则x1x2??p,y1y2?4422(5)以AB为直径的圆与准线相切?MN???1?AB? 2?（6）以CD为直径的圆与AB相切与焦点F
1．已知抛物线C：y?（）
A. 2 B. ?2 C. 4 D. ?4 【答案】D
【解析】x2?8y，如图，
x的焦点为F，A?x0，y0?是C上一点，且AF?2y0，则x0?82
由抛物线的几何意义，可知AF?Al?2y0?y0?2，所以y0?2， 所以x0??4，故选D。
2．设A,B,C是抛物线y2?4x上的三点，若?ABC的重心恰好是该抛物线的焦点F，则
FA?FB?FC?（）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C
【解析】由题意可得F（1，0）是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故xA?xB?xC?1，
3∴xA?xB?xC=3．再由抛物线的定义可得FA?FB?FC?=xA+1+xB+1+xC+1 =3+3=6，
3．已知抛物线??:??2=2????(??>0)的焦点为??，准线??:??=?，点??在抛物线??上，点??在左准线??上，若????⊥??，且直线????的斜率??????=? 3，则????????的面积为（ ） A. 3 3 B. 6 3 C. 9 3 D. 12 3 【答案】C
【解析】设准线??与??轴交于N，所以|????|=3,直线????的斜率??????=? 3，所以∠??????=60°,在直角三角形????????中，|????|=3 3，|????|=6，根据抛物线定义知，|????|=|????|,又∠??????=30°,????⊥??,所以∠??????=60°,因此????????是等边三角形，故|????|=6，所以????????
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的面积为??=2|????||????|=2×6×3 3=9 3，故选C.
4．已知F是抛物线C:??2=8??的焦点，??是C上一点，F??的延长线交??轴于点??．若??为F??的中点，则 F?? =____________． 【答案】6
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【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与??轴交于点??′，作????⊥??与点??，????⊥??与点??，由抛物线的解析式可得准线方程为??=?2，则????=2,????′=4，在直
????+????′
角梯形????????′中，中位线????==3，由抛物线的定义有：????=????=3，结合题意，
2
有????=????=3，故 ???? = ???? + ???? =3+3=6．
2O为坐标原点，5．已知点A是抛物线C:x?2py?p?0?上一点，若A,B是以点M?0,10?为圆心，OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且?ABO为等边三角形，则p的值是． 【答案】5 6【解析】
试题分析：如图，因为MA?OA，所以点A在线段OM的中垂线上，又M?0,10?，所以可设A?x,5?.由tan30??得p?5x?5?，得x?，所以A?,5?的坐标代入方程x2?2px，53?3?55，故答案为. 666．已知F是抛物线??2=4??的焦点，M是抛物线上的一个动点，P(3，1)是一个定点，则
???? + ???? 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C
【解析】设点??在准线上的射影为??，则根据抛物线的定义可知 ???? = ???? ∴要求 ???? +|???? |取得最小值，即求|???? + ???? |取得最小， 当??,??,??三点共线时 ???? +|???? |最小，为3?（?1）=4 ．
7．已知点P是抛物线y2?4x上的一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线
x?2y?1?0的距离为d2，则d1?d2的最小值为（）
A. 4 B. 【答案】D
【解析】因为点P到抛物线y2?4x的准线的距离为d1等于P到抛物线y2?4x的焦点的距离PF，则d1?d2的最小值为F到直线x?2y?12?0的距离，
11115 C. 5 D. 55由抛物线y2?4x得F?1,0?， 所以d1?d2的最小值为1?0?121?4?115，故选D． 5228．已知P为抛物线y2?4x上一个动点，Q为圆x??y?4??1上一个动点，那么点P到
点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（） A. 17?1 B. 25?2 C. 25?1 D. 17?2 【答案】A
【解析】
22?P抛物线y2?4x上由已知得，设圆心为C，因为圆x??y?4??1,?C?0,?4?,r?1，一动点，F为抛物线的焦点?PB?PF,PQ的最短距离为PC?r?PC?1,F?1,0?，?PB?PC?1?PF?PC?1?FC?1，则当PQ的直线经过点F,C时，PB?PQ最小，则?PQ?PB?min??1?0???0?4?22?1?17?1，故选A. 9．已知抛物线C:y2?4x，直线l与抛物线C交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为(2,2)，则直线l的方程为． 【答案】x?y?0 试题分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由A,B在抛物线上，所以y1?4x1,y2?4x2，两式作差得y1?y2?4(x1?x2)，所以直线AB的斜率k?为y?2?x?2即x?y?0． 10．已知A,B为抛物线y2?2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为（） A. 2222y1?y244???1，直线方程x1?x2y1?y2411 B. ? C. ?2 D. 2 22【答案】A
y12?2x1?y1?y2??y1?y2??2，【解析】设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则y1?y2?4，由{2得 ，
x1?x2y2?2x21即4kAB?2,kAB?，故选A. 211．已知过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且????????AF?3FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1?l于点A1,若四边形AA1CF的面积为
123,则准线l的方程为( )
A. x??2 B. x??22 C. x??2 D. x??1 【答案】A