高考数学复习专题——平面解析几何专题1
海安县南莫中学 万金圣
在近几年的高考中，平几所占比例一直稳定在20%左右，一般是3个选择、1个填空和1个解答题的格局。选择、填空题主要是考查平几的基础知识、基本技能和基本方法；解答题则综合考查考生的“四大能力”、思维方法和思维品质。压轴题重点是直线与圆锥曲线的位置关系。具体表现在：直线与曲线的交点分布，图形的平移与对称变换，几何量（弦长、夹角、面积等）的计算和最值的求解，定值问题以及参数范围的确定问题等，其实质是对圆锥曲线的性质作进一步的研究，是代数、三角、几何知识、平面向量的综合应用。试题对解几的考查主要体现了函数与方程、等价转化、分类讨论与整合、数形结合与分离、有限与无限等重要的数学思维和方法。
一：深化认识直线、圆、圆锥曲线本身的定义、几何性质和解几的基本思想，，为用代数方法处理有关问题奠定基础
x2y2??1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段P F1的中点▲ 例1：椭圆
123在y 轴上，那么∣P F1∣是∣P F2∣的 倍。
解法一：由题设知a=23,c=12?3?3可记P F1的中点M在y 轴上，因为O是F1F2的中点，故P F2‖OM，因此P F2⊥x 轴上，从而点P的横坐标x = －3代入椭圆方程中得∣y∣=F2∣的7倍。
解法二：由上知P F2⊥F1F2所以∣P F1∣2－∣P F2∣2=∣ F1F2∣2由定义可解得∣P F1∣－∣P F2∣=33与∣P F1∣+∣P F2∣=43联立两式解得∣P F1∣=
373，∣P F2∣=，即得解。 2233，又2a=43?8??8∣P F2∣所以∣P F1∣是∣P
22▲ 例2：已知P（x，y）是圆 x2?(y?1)2?1上任一点，使不等式x+y+c≥0恒成立，则c的取值范围是（ ） A. ?1?2,2?1?? B. ?1?2,?? C.??,?2?1 D.?1?2,2?1
??????思路一：欲使不等式x+y+c≥0恒成立，即c≥ –(x+y) 恒成立，只要c不小于函数–(x+y)的最大值即可。而函数–(x+y)的最大值可用圆y 的参数方程求解。答案B。
思路二：从几何角度考虑，不等式x+y+c≥0表示直
A 线x+y+c=0上方的区域，圆 x2?(y?1)2?1上任一点均在该区域内（如图），点C的坐标为（0，1-2），所以c的取值范围为[2-1，+∞]。
B C O x ▲ 例3：如图，椭圆的左右焦点分别为F、E，过F且倾角为600的直线交椭圆于A、B两点，若FA?2FB 求离心率.
x2y2分析一：设AB：y?3?x?c?代入2?2?1得
ab?3a2?b2?6a2c?3a2c2?a2b?0设A?x1,y1?，B?x2,y2?
AF?x1?c6a2c3a2c2?a2b2?2即则由，x1x2?三式联立??2，又x1?x2??2222BF3a?b3a?bx2?c解得，但此法太繁
分析二：由AF?2FB?FB?22BA??x1?c,y1???x1?x2,y1?y2?由上解得33y A1 A x F B C E x1?c??2同上 x2?c分析三：如图设BB1?m 则BF?me 从而
AA1?2m BC?AB?3me在△BB1C中，∠B1 C=300 3me=2m ∴e?2 3分析四：设AF?2mBF?m则AE?2a?2m,BE?2a?m在△AFE与△BFE中，
??222??????2a?2m?2m?2c?8mccos?3分别使用余弦定理，得????2a?m?2?m2??2c?2?4mccos2??3?消去m得e?c2? a3【练习】双曲线b2x2-a2y2=a2b2的两个焦点分别为F1、F2，在其右支上有一点P，△PF1F2的内心为点Q，求点Q的横坐标。 二：熟练掌握求曲线方程的常见思路和方法
▲ 例7：已知点M在圆13x2?13y2?15x?36y?0上，点N在射线OM上，且满
足OM?ON?12，求动点N的轨迹方程
分析：设N（x,y）由O、M、N三点共线，设OM??ON???x,y?， 则M点的坐标为??x,?y?，由 OM?ON?12 知?ON2???12 即??12然后将M点22x?y坐标代入圆的方程中可得所求
?12x13??x2?y2???12y???13??x2?y2??22N点的轨迹方程为
化
简
得
?12x12y??15??36??02222?x?yx?y?5x?12y?52?0
22▲ 例8：（95年理，26）已知椭圆x?y?1，直线l:x?y?1。P是直线l上的一
2416128点,射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足OQ?OP?OR2。当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析一：当P不在Y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程
222?yRyRy?xR??1,??216x?xR?24解得xR2?48x248y22由于点P在直线,yR?22222x?3y2x?3y上及点O、Q、P共线，得方程组
24x24y,yP?2x?3y2x?3y2xPyxy解得，?P?1,P?128yPxxP?当点P在Y轴上时，以上关系也成立，由题设代入
OQ?OP?OR中，得方程2x2?3y2?4x?6y(x,y不同时为零）
其它代数解法可参考试题选第142页
分析二：设Q?x,y?, 又可设oP??OQ,oR??OQ??,?为正数），则P??x,?y?,R??x,?y?∵OQ?OP?OR????2又∵P、Q分别在直线和椭圆上，
2x2y2xy???化简即得所求方程 ??1,??1??2∴
24161281282416???x?y?2x2?2y211重视直线与圆锥曲线的位置关系的有关问题,直线与圆锥曲线的位置关系，重点是
相交，可以计算弦长问题、讨论弦长的最值问题、相交后的中点轨迹问题、由此而求曲线的方程、离心率等，在解的过程中注意方程联立后的消元、判别式?等问题。
▲ 例4：设点P（x0,y0）是圆内一点，则直线xx0?yy0?r2与圆的公共点的个数是（A）
A 0 B 1 C 2 D 不确定
??▲ 例5: 双曲线b2x2?a2y2?a2b2，渐近线夹角为???0????，离心率为e，
?2?则cosA
1e2?2=（D）
1e B C
1?1e2 D
1e或
1?1e2
▲ 例6：长度为L的线段，两端点在抛物线上移动，求 （1） 动直线中点M的轨迹方程； （2） 离轴最近的中点M的坐标
2分析：（1）设A?x1,y1?、B?x2,y2?、M?x0,y0?则y1?x1,y2?x2相减得
2y1?y2?x1?x2x1?x2即k?2x0 AB：则
2y?2x0x?2x0?y0代入
y?x2得
∴
2x2?2x0x?2x0?y0?0x1?x2?2x0,x1x2?2x0?y022?x1?x2?2?4y0?x021?4x02以x,y代x0,y0即得轨迹方程为L2?1?4x0??????4y?x21?4x2?L2 （2）∵M
L2?4y?x21?4x2????在抛物线内部∴
y?x2?0又1?4x2?0∴
?????4y?4x2?1?4x2???2?222L?1??4y?1?4y?1?2L,y?故??,?44?∴当4y?4x2?1?4x2,即x??L?12L?1L?14L?1?∴M0坐标为?,ymin???,??2424??L?12L?1?此题还可用导数求解 或????,??24??三：熟练求一般的轨迹方程
常用的方法有：①直译法：建标、设点、列式、化简、证明（可省略）适合于较简单的问题
②定义法 ③相关点法也称点代法 ④参数法、待定系数法 ⑤
▲ 例9：已知动点P（x, y）满足10?x?1???y?2??3x?4y，则P点的轨迹是
22（ ） A． 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 两相交直线 分析：
?x?1?2??y?2?2?113x?4y 3x?4y??1025x2y2??1 ▲ 例10：已知双曲线方程42（1） 过M（1，1）的直线l交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求
AB的方程；（答案：x?2y?1?0）
（2） 是否存在直线l，使点N（1，1/2）为被双曲线所截弦的中点，若存在，
求直线l的方程，若不存在，说明理由。（答案：不存在）
四：抓住解析几何的特点和解几的基本思想，充分应用平面几何知识简化和解决有关问题，从中进一步体现数形结合等数学思想 ▲ 例11：已知⊙C1：x2?y2?4 ，⊙C
2：?x?4??y2?1 两圆外动点P对两
2圆的所张视角相等，求P点的轨迹方程 分析：由题意知，＜C1PA=＜C2PB, ＜A=＜B=900 A y P B x 故Rt△C1PA∽Rt△C2PB ∴
PC1C1A?PC2C2B
C1 C2 设P(x, y), 则
x2?y2?x2?y2?2?x?4?2?y21化简，得
3264x??0 33