●知识模块5：新定义问题
1．（大兴18期末28）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平
面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单
位圆与x轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.
在平面直角坐标系xOy中，设锐角?的顶点与坐标原点O重合，?的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P(x1,y1),
且点P在第一象限.
（1）x1=_ __ (用含?的式子表示)；y1=____ _ (用含?的式子表示)； （2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90?后与单位圆交于点Q(x2,y2).
①判断y1与x2的数量关系,并证明；
②y1?y2的取值范围是：_ ___.
2．（东城18期末28）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点
N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．
7（1）当⊙O的半径为3时， 在点P1（1,0），P2（3,1），P3（,0），P4（5,0）中，⊙O
2的和睦点是________；
（2）若点P（4,3）为⊙O的和睦点，求⊙O 的半径r的取值范围；
（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正
方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（2,2），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标xA的取值范围．
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3．（昌平18期末28）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的
距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1?d2，则称d1为点P的最大距离；若d1?d2，则称d2为点P的最大距离.
例如：点P（?3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P的最大距离为4.
（1）①点A（2，?5）的最大距离为 ；
②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为 ；
（2）若点C在直线y??x?2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；
（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围. ．．
y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x
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4．（朝阳18期末28）在平面直角坐标系xOy中，点A （0, 6），点B在x轴的正半轴上. 若
点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”. 下图为点P,Q的“X矩形”的示意图. （1）若点B（4,0），点C的横坐标为2，则点B,C的“X矩形”的面积为 . （2）点M，N的“X矩形”是正方形，
①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；
②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围 .
y76A54P321Q-1-1O123B45x
y76543 21-1-1O123456x 备用图 第3页
5．（海淀18期末27）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线．．AP与⊙C交
于点Q（点Q可以与点P重合），且1?PA ?2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．
QA已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P
的坐标________； （2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足tan?BAO?值范围；
（3）直线y?3x?b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O
的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．
12，求点B的纵坐标t的取
y5432y5432–3–2–1O–1–2–3–4–5–6A112345x–3–2–1O–1–2–3–4–5–6A112345x
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6．（石景山18期末28）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1,y1)，点Q的坐标为(x2,y2)，
且x1?x2，y1?y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”
的示意图． ．．．
yQPOx
（1）已知点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(?3,0)，则点A，B的“相关等腰三角形”
的顶角为_________°；
（2）若点C的坐标为(0,3)，点D在直线y?43上，且C，D的“相关等腰三角形”为
等边三角形，求直线CD的表达式；
（3）⊙O的半径为2，点N在双曲线y??上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、
N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标xN的取值范围．
3x
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