代数结构与初等数论2014下试卷A

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湘潭大学20 年 学期级 《代数结构与初等数论》试卷 （A卷） 适用年级专业 考试方式闭卷 考试时间 120 分钟 学院 信息工程学院 专业 计算机科学与技术 班级 学号 姓名 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 阅卷 教师 得 分 ……………………………………………………………………………………………………………… 得 分 一、单项选择题（共20分，每小题2分） 1、设a,b都是整数。于是，若a|b,且b|a, 则（ ）。 A a?b； B．a??b； C．a?b； D．a?b。 2、质数p和整数a(?1)互质当且仅当（ ）。 A ap； B．pa； C．a?p； D．p|?a。 3、6阶群的子群不可能是（ ）群。 A 2阶； B．5阶； C．3阶； D．6阶。 4、下列运算中在自然数集合N上可结合的是（ ） A a?b?max{a,b}； B．a?b?a?2b； C．a?b?a?b； D．a?b?a?b。 5、设Q为有理数集，在Q上定义运算*为a?b?ab?a?b。于是，的幺元是（ ）。 A a； B．0； C．b； D．1。 6、设H和K都是G的子群。于是，（ ）也是G的子群。 A．HK； B．H?K； C．H-K D. H?K。 7、设G是非空有限集合，若定义在G上的乘法运算是封闭的且满足结合律和消去律，则G（ ）。 A．不一定是群； B．一定不是群； C．一定是群。 8、对于任意一个环R，在R中（ ）。 A．有零元并且有幺元； B．有零元但不一定有幺元； C．有零元无幺元； 9、设S={1,2…,100}，x, y ?S，下面定义的运算关于集合S封闭的是（ ）。 A．xy=x+y； B．xy=x除y的余数； C．xy=max{x, y}； D. xy=x,y的最小公倍数。 10、设〈L，?〉和〈L，?，?〉是两个等价的格，x，y?L。于是x?y=y当且仅当x?y=x当且仅当（ ）。 A．x?y； B．x

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得 分 二、填空题（共20分，每个空格1分） 1、设S是非空有限集，代数系统??(S),?,??中，关于运算?的幺元为 ,零元为 。 2、当有限群的阶为 时，它无非平凡子群。 3、设Z是整数集，则循环群的生成元为 和 ，周期均为 。 4、无限循环群共有 个生成元，若一个生成元为a, 则另一个为 。 5、任何质数阶的群必是 群，并且其子群必是 。 6、设R是一个环，若R除自己和(0)外没有别的理想，则R称为 环。 7、设H是群G的子群，a，b?G。于是，任意两个左陪集aH和bH或者 ，或者 。 8、若R是一个环，则R对它的乘法不可能作成一个群。因为 。 9、设〈L，?，?〉是一个代数格，于是，运算?和?满足结合律、 和 。 10、设〈L，?〉是有界格，a，b?L，若a和b互为余元素，则有a?b= 和a?b= 。 11、循环群?Z3,?3?的生成元为 和 。 得 分 三、判断题（共20分，每小题2分。你认为正确的请在题后的括号内打“√”，否则打“×”） 1. 若a和b互质，而a|bc，则必有a|c。 （ ） 2. 若b和a1,a2,?,an都互质，则b和a1a2?an不一定互质。 （ ） 3 设a、b、c是整数，且ac?bc(modm)，于是，a?b(modm) （ ） 4. 设a、b、c是整数。若c?0且ac?bc(modmc)，则a?b(modm) （ ） 5 域必是整环，但整环不一定是域。 （ ） 6 无限循环群的所有子群都是无限循环群。 （ ） 7 设H是G的正规子群，于是，对任意的a?G，h?H，有ah=ha成立。 （ ） 8 设R是实数集，“?”是数值间的小于等于关系，S={x?R|0 ?x? 1}，于是，〈S，?〉是一个格。（ ） 9 设〈L，?〉是任意一个有限格，于是，L的任意非空子集S都有一个最大下界和最小上界。 （ ） 10 设〈L，?〉是一个有余格，于是，L中的每一个元素恰有一个余元素。 （ ） 得 分 四、简答题（共20分） 1、解同余方程5x?8(mod11)（4分） 根据

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2、设Q为有理数集，在Q上定义运算?为：a?b?a?b?ab，其中，“+”和“-”为普通数的加、减运算。请回答以下问题（6分，每小题2分）： (1) 求代数系统?Q,??中的幺元e?Q，即对任意x?Q，满足e?x?x?e?x的e。 (2) 求?Q,??中元素a的逆元（若存在），即满足a?b?b?a?e（幺元）的b。 (3) 试计算2?(?3); 3、设f(x)?1?2x?2x2?x4?2x5和g(x)?1?x2为域R3?{0,1,2}上的多项式。试列出 f(x)被g(x)除的竖式并给出商式q(x)和余式r(x)。（4分） 25?。 3

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4、设G是非零实数集合，在G上定义的运算为数的普通乘法。请指出下述映射f(x)哪些是G到G的同态映射，并给出其同态核ker(f)。（6分，每小题1分） (1) f(x)?x (2) f(x)?2x (3) f(x)?x2 (4) f(x)??x (5) f(x)?x?1 (6) f(x)? 得 分 1x五、 证明题（共20分，每小题5分） 1、设N为自然数集合，A?{nn?N,且6n,24n2}。试证明集合A关于整数的加法运算“+”是封闭的。 2、设H是群G的子群，令K?{xx?G,xHx?1?H}。试证：K是G的子群。 3、设偏序格〈L，?〉与代数格〈L，?，?〉等价。试证明：对任意a,b,c?L，若b?c c 则 a?b?a?。 4、求证：在格?L,?,??中，若a??b?c???a?b???a?c?, 则 a??b?c???a?b???a?c?

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