材料力学（土）笔记
第一章 弯曲问题的进一步研究
1．非对称纯弯曲梁的正应力 当梁不具有纵向对称平面
或者梁虽然具有纵向对称平面，但外力不作用在该平面内时 梁将发生非对称弯曲
这时对称弯曲的正应力公式将不再适用 1.1 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式
若梁的任意横截面上只有弯矩M（其值等于外力偶Me）
取x轴为梁的轴线，y，z轴为横截面上任意一对相互垂直的形心轴 弯矩M及其在y，z轴上的分量My和Mz均用矢量表示 对于非对称弯曲，平面假设依然成立
非对称弯曲梁横截面上任一点处正应力的普遍表达式为
My(zIz?yIyz)?Mz(yIy?zIyz) ??2IyIz?Iyz上式称为广义弯曲正应力公式
式中Iy、Iz和Iyz依次为横截面对y轴和z轴的惯性矩及对y，z轴的惯性积
y和z代表横截面上任一点的坐标
可解出中性轴与y轴间的夹角?为
tan??MzIy?MyIyzMyIz?MzIyz
横截面上的最大拉应力和最大压应力将分别发生在距中性轴最远的点处
对于具有棱角的横截面，其最大拉、压应力必发生在距中性轴最远的截面棱角处
对于周边为光滑曲线的横截面，可平行于中性轴作两直线分别与横截面周边相切于两点 该两点即为横截面上的最大拉、压应力点
将其坐标(y,z)分别代入广义弯曲正应力公式，即可得横截面上的最大拉应力（压应力） 由于梁危险截面上的最大拉应力?t,max和最大压应力?c,max点均处于单轴应力状态
于是根据最大拉、压应力不得超过材料许用拉、压应力的强度条件 即可进行非对称纯弯曲梁的强度计算
1.2 广义弯曲正应力公式的讨论 不论梁是否有纵向对称平面，外力是否作用在纵向对称平面内，广义弯曲正应力公式都适用 即广义弯曲正应力公式包含了对称弯曲情况下的正应力计算公式 ①梁具有纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内
将My?0、Mz?M、Iyz?0代入广义弯曲正应力公式，即得
???MIzy
上式即为对称弯曲情况下横截面上任一点处的正应力公式
在对称弯曲中已知，梁的挠曲线必定是外力作用平面内的一条平面曲线 这一类弯曲也称为平面弯曲 ②梁不具有纵向对称平面
但外力作用在（或平行于）由梁的轴线与形心主惯性轴组成的形心主惯性平面内 将My?0，Mz?M、Iyz?0代入广义弯曲整理公式，同样可得上面的公式 上式表明，只要外力作用在（或平行于）梁的形心主惯性平面内 对称弯曲时的正应力哦给你时仍然适用
可得tan???，??90?，说明中性轴垂直于弯矩（即外力）所在平面
即梁弯曲变形后的挠曲线也将是外力作用平面内的平面曲线，属于平面弯曲范畴 ③梁具有纵向对称平面，但外力的作用平面与纵向对称平面间有一夹角
弯矩M的矢量与y轴间的夹角为?，将My?Mcos?、Mz?Msin?、Iyz?0代入
??Mcos?Iyz?Msin?Izy
此时横截面上任一点处的正应力，可视作两相互垂直平面内对称弯曲情况下正应力的叠加 在此情况下，确定中性轴与y轴间夹角的公式化简为
tan??MzMy?IyIz?IyIztan?
对于Iy?Iz，因而???
即中性轴不再垂直于弯矩（即外力）所在的平面
梁弯曲变形后，其挠曲线不再外力作用的平面内，这类弯曲也称为斜弯曲
2．两种材料的组合梁
设梁由材料1与材料2组成
其弹性模量分别为E1和E2，且E1?E2，相应的横截面面积分别为A1和A2 梁在纵对称平面内承受纯弯曲，横截面上的弯矩为M
当梁的两种材料的接触部分紧密结合，在弯曲变形过程中无相对错动时，视作整体 平面假设与单轴应力状态假设依然成立取截面的对称轴和中性轴分别为y轴和z轴 由平面假设可知，横截面上各点处的纵向线应变沿截面高度呈线性规律变化 任一点y处的纵向线应变为
??y?
式中，?为中性层的曲率半径
当梁的材料均处于线弹性范围，由单轴应力状态下的胡克定律 可得横截面上材料1与2部分的弯曲正应力分别为
?1?E1?2y????? y?E2????由横截面上正应力所构成的法向分布内力系的合成等于内力的静力学关系，即得
?A1?1dA1??A2?2dA2?FN?0
A2?A1y?1dA1??y?2dA2?M
与同一材料梁在对称弯曲时的推导相仿
若将组合梁的截面变换为仅由材料1构成的截面，则仅需将横截面上材料2的宽度换为
b?'E2E1b
于是两种材料的组合梁可变换为同一材料的均质梁进行计算 同一材料的截面相当于两种材料的实际截面，称为相当截面 应用相当截面，按同一材料梁算出的横截面上的正应力? 于材料1部分，即为实际的应力 材料2部分（变换宽度部分），必须将其乘以两材料弹性模量之比值E2/E1，才是实际应力
上述按相当截面的计算方法，对于其他形状截面的两种材料组合梁也完全适用 只需将截面高度维持不变，将其宽度折算，即可得到相当于一种材料的相当截面
在计算相当截面时，将原来的截面折算为哪一种材料的相当接面，对计算结果无影响
3．开口薄壁截面梁的切应力·弯曲中心 3.1 开口薄壁截面梁的切应力
对于横向力作用下的非对称开口薄壁截面梁
横向力必须作用在平行于形心主惯性平面的某一特定平面内 才能保证梁只发生平面弯曲而不扭转
这以一特定平面，就是梁在形心主惯性平面内发生弯曲时横截面上剪力Fs所在的纵向平面 若横向力作用在平行于该特定平面的另一纵向平面内 则梁不仅发生平面弯曲，还将发生扭转
3.2开口薄壁截面的弯曲中心
非对称薄壁截面梁，其横截面上剪力FSy和FSz的作用线教育A点
为使梁只发生弯曲而不扭转，梁很说那个横向外力所在的纵向平面就必须通过该交点A 这一交点称为截面的弯曲中心，或剪切中心
对于具有一根对称轴的截面，其弯曲中心都在截面的对称轴上 则仅需确定其垂直于对称轴的剪力作用线，剪力作用线与对称轴的交点即为截面的弯曲中心 若截面具有两根对称轴，则两根对称轴的交点（即截面形心）即是弯曲中心 对于由两个狭长矩形组成的截面，由于狭长矩形上的切应力方向平行于长边 且数值沿厚度不变，故剪力作用线必与狭长矩形的中线重合， 其弯曲中心应位于梁狭长矩形中心的交点 弯曲中心的位置仅与横截面的几何特征有关
因为弯曲中心仅决定于剪力作用线的位置，而与其方位及剪力的数值无关
4．开口薄壁截面梁约束扭转的概念
5．平面大曲率杆纯弯曲时的正应力
第二章 考虑材料塑性的极限分析
1．塑性变形·塑性极限分析的假设 1.1塑性变形的特征 塑性变形主要特征
①塑性变形时不可逆的永久变形，一旦产生后，即使荷载卸除也不会消失 产生塑性变形后再卸除荷载，往往会导致受力构件内的残余应力 ②应力超过弹性范围后，应力-应变呈非线性关系 ③塑性变形与加载的历程有关
应力超过弹性范围后，卸载时的应力-应变关系基本上按平行于弹性阶段的直线呈线性关系 直至达到材料在反向时的屈服极限，这就是材料的卸载规律
在考虑材料的塑性变形时，对于同一应力水平，不同加载过程对应的应变值不同 只有明确了加载过程，才能得到应力、应变间的对应关系 ④金属材料的塑性变形远大于弹性变形量
当应力超过弹性范围后，其总应变包含弹性应变和塑性应变
通常所说的塑性变形，是指在常温下、与时间无关的不会消失的永久变形 在高温下随承载持续时间而引起的塑性变形，称为蠕变
1.2 塑性极限分析假设
实际工程中，为简化计算，通常作如下假设 ①荷载为单调增加的静荷载，若多个荷载同时作用，则各个荷载按比例同时由零增至最终值 满足上述加载方式的荷载称为简单加载
②结构（或构件）虽局部产生塑性变形，但其总体的变形仍然足够小 因而其变形的几何相容条件仍保持为线性
结构（或构件）由于大的塑性变形变为几何可变机构时，称结构（或构件）达到了极限状态 ③结构（或构件）达到极限状态之前，应始终保持为几何不变体系
④材料具有屈服阶段，在塑性变形较小时，材料的应力-应变关系可理想化为理想塑性模型 其中，一种是不考虑弹性变形的影响，即材料在达到屈服极限之前，应变为零 而在达到屈服极限之后，应力保持不变，应变持续增长，称为刚性-理想塑性模型
另一种是考虑弹性变形的影响，即材料在屈服极限前，应力-应变关系保持为线性，并服从胡克定律，在达到屈服极限后，应力保持不变而应变可继续增长，称为弹性-理想塑性模型
2．拉、压杆系的极限荷载
对于静定的拉、压杆系，当其中受力最大的一杆的应力达到材料的屈服极限时 结构就将产生大的塑性变形而达到极限状态
因此，结构的极限荷载与弹性分析中最大应力达到屈服极限，使杆件开始屈服时荷载相同 对于一次超静定结构，当其中受力最大的杆件的应力达到材料的屈服极限
而使该杆开始屈服时，由于超静定结构存在多余约束，结构并不会产生大的塑性变形 若继续增加荷载，则开始屈服的杆件，其应力保持不变（保持为屈服极限） 其他杆的应力持续增长，直至其他某一杆内的应力也达到屈服极限时 结构开始大的塑性变形变成几何可变机构，而使结构达到极限状态 结构（或构件）开始出现塑性变形时的荷载，称为屈服荷载，记为Fs 使结构（或构件）处于极限状态的荷载，称为极限荷载，记为Fu
按弹性设计时，结构的破坏荷载为屈服荷载
考虑材料塑性的极限分析时，结构的破坏荷载为极限荷载
3．等直圆杆扭转时的极限扭矩
设直径为d，长度为l的等直圆杆承受扭转外力偶矩Me的作用
圆杆的材料为弹性-理性塑性，其切应力?与切应变?的关系如正应力与应变的弹塑性关系 材料的弹性模量为G
弹性阶段，最大切应力和相对扭转角分别为
16MeT?max?? 3Wp?d??TlGIp?2?maxlGd
杆件开始产生塑性变形，横截面上的扭矩为屈服扭矩，其值为
?s
16当几面各点处的切应力均达到?s时，则横截面上各点处均将发生塑性变形 整个截面进入完全塑性状态，这时不需要再增大外力偶矩，杆件将继续扭转变形 引起大的塑性变形，即杆件达到极限状态
Ts?Wp?s??d3
极限状态的极限扭矩为
Tu?Tu??A??sdA
d/20?A??sdA?2??s??d??2?d123?s
考虑材料的塑性时，增加了圆杆的承载能力
若等直圆杆在达到极限扭矩Tu后，卸除荷载，即反向施加外力偶矩Me?Tu 则圆杆的横截面将有残余应力存在，残余应力有以下特征 ①卸载后圆杆横截面上的残余应力必自相平衡
②残余应力的最大值为?s，如在卸载后，继续翻向增大外力偶矩 当外力偶矩增大到Me??23若继续增大外力偶矩，?-?关系将不再保持线性关系，不能用简单的线性叠加
Ts时，横截面周边处的切应力将达到?s
4．梁的极限弯矩·塑性铰 4.1 纯弯曲梁的极限弯矩
设一承受纯弯曲的矩形截面梁，材料可理想化为弹性-理想塑性模型 且在拉伸和压缩时的弹性模量E和屈服极限?s均相同
在线弹性范围内，梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比 其中性轴为横截面的水平对称轴
当梁横截面上的最大正应力达到材料的屈服极限时，梁开始发生塑性变形 横截面上的弯矩为
Ms?W?s?bh62??s
梁的曲率为
?1??s2?? ???Eh??s若继续增大外力偶矩，则截面上的弯矩也随之增大
并随着显影的增大，横截面上正应力达到?s的区域将由其上、下边缘逐渐向中轴扩展
即线应变???s的点处的正应力达到?s，而???s各点处的正应力均保持为?s 这时梁处于弹性-塑性阶段，梁虽已产生塑性变形，但其值不大，是有限的 当整个横截面上各点处的正应力均达到?s，则整个截面进入完全塑性状态 梁将发生明显的塑性变形而达到极限状态
梁横截面上受拉部分的面积为At，受压部分面积为Ac，At?Ac 横截面上轴力FN是确定中性轴的条件
当梁达到极限状态时，中性轴将横截面分为两个面积相等的部分 对于具有水平对称轴的横截面，其中性轴与该对称轴重合
对于无水平对称轴的横截面，其中性轴将与线弹性范围内工作时的中性轴位置不同 中性或走将随塑性区的增加而不断移动
在极限状态下，横截面上法向内力元素所组成的力偶矩就是梁的极限弯矩Mu
Mu??sWs Ws?St?Sc
St和Sc分别为受拉部分的面积At，受压部分面积Ac对中性轴的静矩，均取正值
式中，Ws称为塑性弯曲截面系数，对于由水平对称轴的横截面St?Sc，Mu/Ms?Ws/W