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本章复习课
类型之一 有关垂径定理的计算
1．如图3－1，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为D.要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( B )
图3－1
A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD
D．∠OCA＝∠OCB
2．[2017·乐山]图3－2是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B ) A．2 m
B．2.5 m C．2.4 m
D．2.1 m
图3－2 第2题答图
【解析】 如答图，连结AC，作AC的中垂线交AC于E，交BD于F，交圆的另一点为M，则MF为直径．取MF的中点O，则O为圆心，连结OA， ∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD， ∵AB＝CD，∴四边形ABCD为矩形， ∴EF＝AB＝CD＝0.25 m，AE＝EC＝0.75 m， 设⊙O的半径为R，得R2＝(R－0.25)2＋0.752， 解得R＝1.25 m，1.25×2＝2.5 m.
即这个圆弧形门的最高点离地面的高度为2.5 m.
类型之二 圆心角与圆周角定理的综合
图3－3
3．[2017·毕节]如图3－3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为( C ) A．30° C．60°
B．50° D．70°
【解析】 连结BD，由于AB是直径，依据“直径所对的圆周角是直角”可得∠ADB＝90°，根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠DBA＝∠ACD＝30°，因此∠BAD＝60°，故选C.
图3－4
4．如图3－4，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠A＝45°.则以下五个结论： ①∠EBC＝22.5°； ②BD＝DC； ③AE＝2EC；
④劣弧AE是劣弧DE的2倍； ⑤AE＝BC.
其中正确结论的序号是__①②④__．
5．[2016·巨野二模]如图3－5，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的平分线．
(1)求证：△ABD为等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半径．
图3－5 第5题答图
解：(1)证明：∵∠DCB＋∠DAB＝180°， ∠DCB＋∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝∠DAB.
∵CD平分∠ACE，∴∠ECD＝∠DCA， ∵∠ECD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA， ∴∠DBA＝∠DAB，∴DB＝DA. ∴△ABD为等腰三角形；
(2)如答图，∵∠DCE＝∠DCA＝45°， ∴∠ECA＝∠ACB＝90°，∴AB是直径， ∴∠BDA＝90°，∵BD＝AD＝6， ∴AB＝BD2＋AD2＝62＋62＝62， ∴⊙O的半径为32.
类型之三 弧长及扇形的面积
6．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm2，那么这个扇形的半径是( B ) A．1 cm C．6 cm
B．3 cm D．9 cm
【解析】 设扇形的半径是R cm，
120×πR2
由题意，得3π＝360，解得R＝±3， ∵R＞0，∴R＝3，
∴这个扇形的半径是3 cm.故选B.
7．[2017·天水]如图3－6所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝43，则S阴影＝( B )
图3－6
8
A．2π B.3π 43C.3π D.8π
【解析】 ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， 1
∴E为CD中点，DE＝2CD＝23， 又∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，
在Rt△OED中，OD＝2OE，由勾股定理，得OD＝4，OE＝BE＝2， ∴△ODE≌△BCE，
60π×428
∴S阴影＝S扇形DOB＝360＝3π，故选B.
8．[2016·东营]如图3－7，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形BAD的面积为__25__．
图3－7
︵
【解析】 由题意，得DB的长＝l＝BC＋CD＝10， 11
S扇形BAD＝2l·AB＝2×10×5＝25.
9．[2016·沈阳一模]如图3－8，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC. (1)求∠BAC的度数；
(2)若∠DCA＝27°，AB＝8，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
图3－8 第9题答图
解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝108°， ∴∠B＝72°，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝18°； (2)如答图，连结OC，OD. ∵∠ADC＝108°，∠DCA＝27°， ∴∠DAC＝180°－108°－27°＝45°， ∵OC＝OD，∴∠DOC＝90°， ∴△COD是等腰直角三角形， ∵AB＝8，∴OC＝OD＝4.
90×π×4212
∴S阴影＝S扇形COD－S△COD＝－×4＝4π－8.
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类型之四 有关旋转的计算
10．[2017·广州]如图3－9，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为( A )
图3－9
A B C D
【解析】 选项A是原阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后得到的；选项B是原阴影三角形绕点A顺时针(或逆时针)旋转180°后得到的；选项C不能由原阴影三角形绕点A旋转一定度数得到；选项D是原阴影三角形绕点A顺时针旋转270°后得到的．