群论
2006.12
1． 写出C4v对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：
（1） C4v的不变子群H的不变子群K不一定是C4v的不变子群。 （2） C4v的不变子群的交集仍是C4v的不变子群。
2． 试由???01??0i???和?生成一矩阵群。证明此群为8阶群，分五类，但与C4v不同构。 ?????10??i0?（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C4v中只有2个）
3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel群。
4． （1）设a2=b3=(ab)2=e,由a，b生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a，b乘积可对易，且a2=b3=e,证明a，b生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G群是2n阶的，H为G的n阶子群，则H必为G的不变子群。其商群必为二阶循
环群。
7． 若群G=H?K，试证明（1）商群G/H与K同构;（2）群G的类数等于两因子群类数
之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群Sn中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。 9．（1）设a,b,c为群元，试证 abc,bca,cab同阶。 （2）证明下列循环积恒等式：
?ab??a?Xb?y???a?X??b?y?
10．证明在适当的基函数下，群G可约表示的形式是
?D?1??A?O??D?A????X?A?D?2??A??
??其中D?1??A?和D?2??A?分别是m阶和n阶方阵； X?A?是n行m列的矩阵，而O是
m行n列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，?i??0,0?,1i,0?0? ）
1
'?表示。定义为T?r?r?r?a，求平移算符J?的形式。 11．（1）在R3空间中,平移用Taaa????（2）绕z轴的定轴转动R????SO?2?,其算符表示可以由OXY平面线性变换求得。试求R???的表示。
12．叙述舒尔引理Ⅰ和Ⅱ，分别给出一种证明。利用舒尔引理导出群的不可约表示的正交关
系:
*(?)(?)?g??Dij?g??Dlk???g??Gg????il?n?jk
13．给定两个基函数b1(r)?x2?y2,b2(r)?2xy,构成二维空间F2?ax2?y2?b?2xy?
????a,b?R?。
求D3群在F2上的诱导算符表示。
14．若在三维空间中给定三个独立的基矢ai?i?1,2,3?，置换群S3的元素S对ai的作用是
????按照这一方法写出S3所有元素的表示矩阵。这种表示是否可约？如可约，A?s?ai=as。
它包含几个哪一类不等价不可约表示？
15．试用列表形式给出C5v群的不可约表示特征标表。并加简要推导和说明。
16．一个具有C4v对称性的正四棱锥体系，沿一组相对面方向受到压缩，压缩后对称性群是
C2v，给出C4v和C2v的不可约表示特征标表，并利用其说明该体系受扰动前后的能级分裂
情况。
17．对于幺正不可约表示D(?)，D(?)，D(?)，证明直积表示D(?)?D(?)，D(?)?D(?)和
D(?)?D(?)中分别包含不可约表示D*(?)，D*(?)，D*(?)的次数相等。证明群的正则
表示中包含其所有不可约表示，且每个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维
数。
18．SU(2)群的元素可表示为??同一类。
2
?a?b*?? ?aa*?bb*?1?，证明 a的实部相同的元素属于??ba*?
*19. 试用SO(3)与SU(2)的对应关系D(j)m'm??,?,???D(j)m'm?i(???)2?i(???)2??,sine?cose?
22??(j)由D(j)?a,b? 给出转动矩阵元Dm'm的表达式。
20. 求D3群的两个2维表示直积的约化C-G系数。
21. 用对称化基函数法将D3群在 F3={ f(r)=ax2+by2+c.2xy| a,b,c∈R}上的诱导算符群的表
示T约化(提示: D3群的3维表示一定可约)。 22.采用Euler角方法，写出SO(3)群元素R??,?,??的表示矩阵。今有一定轴转动
????????C????e1,e2,e3?=(e2,e3,e1), 求转轴k的取向和转角?。
?k23．写出反映正四面体完全对称性的Td群所包含的所有点操作，它分为几类？求相应的不可约表示特征标。
24．求Cnv群的不可约表示及相应的表示的特征标。
25．求立方体转动对称O群的二个三维不可约表示的表示矩阵和特征标。（提示：用对称化
基函数）
26．叙述晶体转轴制约定理，并证明之。
?
?(k)
*27．空间平移矢量as?s?1,2,3?，相应方向上的格点数为Ns。求平移群的不可约表示T(n)，
这种表示有多少个？各是几维的？
28．写出NH3,CH4,C2H6分子的对称点操作群。
1 2 29．写出标准杨盘 的杨算符。试验证它们是原始幂等元。
3 4
30．用标准杨盘（表）方法求置换群S4的?3,1?不可约表示中元素（12），（23），及（14）的
表示矩阵。
31．用阶梯法求以下不可约表示的类特征标。
?4,3,1??4,2?（1）?(2) （2）?(3,22,12)
2332．利用特征标表验证下列直积表示关系
D?2,1??D?1??D?2,1?
3 3
D?3,1??D?1??D?2,1?
42推广到一般情况。试论证：两个不可约表示的直积D是什么？
33．求置换群S3的不可约表示D证。
?2,1?(?)?D(?)仍为不可约表示的条件
的自身外积D?2,1?⊙D?2,1?的约化。并用表示维数加以验
34．（1）验证杨图等式
⊙ = ⊙ ⊙ - ⊙
（2）计算外积 ⊙ ，并验证维数。
（3）将下列外积表示成一系列与一维表示之外积的代数和
*35. 分别计算S6群所有(K-1,K)对换在下列两个不可约表示中的实正交矩阵形式。并计算它们之间的相似变换矩阵X。
[23]?[16]?[3,3]
（提示：X[2]X?[1]?[3,3]
?136?00??00结果：X??00??0?1?10?*00?1??010?100? ）
?000?000??36. GL(5,C)群的4秩张量空间可约化为哪些不变的张量子空间，其子空间的维数各为多少？（用Robinson公式）。(提示: 625=5+70+315+135+100)
*37. 由普通张量Ti1i2i3i4, 写出[3，1]对称形张量具体形式。
*38. 约化GL(3,C)群的直积表示D[4,1]?D[3,1]，并核对维数。
提示：[7，2], [7，12], 2?[6，2，1] 2?[5，3，1], [4，4，1], [5，2，2] 而[6,13], [5,14], [5,2,12], [4,2,13], [4,22,1] 不属于约化表示。
4