第十四章 稳恒磁场
例题
例14-1 在真空中，电流由长直导线1沿垂直于底边bc方向经a点流入一由电阻均匀的导线构成的正三角形金属线框，再由b点从三角形框流出，经长直导线2沿cb延长线方向返回电源(如图)．已知长直导线上的电流强度为I，
?三角框的每一边长为l，求正三角形的中心点O处的磁感强度B．
????O 2 I b e c I 1 a 例14-1图
解：令B1、B2、Bacb和Bab分别代表长直导线1、2和三角形框ac、cb边和ab边中的电流在O
?????点产生的磁感强度．则 B?B1?B2?Bacb?Bab
??B1：由于O点在导线1的延长线上，所以B1= 0． ??0I1(sin90??sin60?) 式中 d?Oe?l?tan30??B2：由毕－萨定律B2?24?d3l/6
B2?6?0I4??3l(1?32)??0I4?l(23?3) 方向：垂直纸面向里．
??Bacb和Bab：由于ab和acb并联，有 Iab?Rab?Iacb?Racb?
又由于电阻在三角框上均匀分布，有
RabRacb?abac?cb?12 ∴ Iab?2Iacb
由毕奥－萨伐尔定律，有Bacb?Bab且方向相反． ∴ B?B2??0I4?l?(23?3)，B的方向垂直纸面向里．
例14-2 如图所示，一无限长载流平板宽度为a，线电流密度(即沿x 方向单位长度上的电流)为??，求与平板共面并且距离平板一边为b的任意点 P的磁感强度．
x b ? ?O P a (1) 取离P点为x宽度为dx的无限长载流细条，它的电流 di??dx
例14-2图
?0di?0?dx?(2) 这载流长条在P点产生的磁感应强度 dB? 2?x2?x解：利用无限长载流直导线的公式求解． 方向垂直纸面向里．
(3) 所有载流长条在P点产生的磁感强度的方向都相同，所以载流平板在P点产生的磁感强度 B?
?dB??0?2?xa?b?bdxx??0?2?xlna?bb 方向垂直纸面向里．
例14-3 如图所示，半径为R，线电荷密度为? (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度??转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．
?0R??2(R?y)223/23? O y R ??解： I?R?? B?By??B的方向与y轴正向一致．
例14-3图
例14-4 平面闭合回路由半径为R1及R2 (R1 > R2 )的两个同心半圆弧和两个直导线段组成(如图)．已知两个直导线段在两半圆弧中心O处的磁感强度为零，且闭合载流回路在O处产生的总的磁感强度B与半径 为R2的半圆弧在O点产生的磁感强度B2的关系为B = 2 B2/3，求R1与R2的关系．
R1 I R2 O 例14-4图
解：由毕奥－萨伐尔定律可得，设半径为R1的载流半圆弧在O点产生的磁感强度为B1，
?I?I则 B1?0 同理, B2?0
4R14R2∵ R1?R2 ∴ B1?B2 故磁感强度 B?B2?B1 ?∴ R1?3R2
例14-5 在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L2
L1 P I1⊙ I⊙2 1L2 ⊙⊙ P2 ⊙ I1 I2 I3 (b) ?0I4R2??0I4R1??0I6R2
回路外有电流I3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则：[ ] (a)
(A) (B) (C)
?L1??B?dl???B?dl???B?dl??L2??B?dl，BP1?BP2
??B?dl，BP1?BP2． ??B?dl，BP1?BP2．(D)
例14-5图
?L1?L2?L1?L2?L1??B?dl??L2??B?dl，BP1?BP2．
???例14-6 在安培环路定理?B?dl??0?Ii中，?Ii是指 ? ；B是指 ? ．
L
例14-7 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明导线a到b之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直导线ab所受的安培力． I a
??b?????证明：由安培定律 df?Idl?B，ab整曲线所受安培力为 f??df??Idl?B a?B b 例14-7图 ?因整条导线中I是一定的量，磁场又是均匀的，可以把I和B提到
积分号之外，
b??b????即 f??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B
aa载流相同、起点与终点一样的曲导线和直导线，处在均匀磁场中，所受安培力一样．
例14-8 判断下列说法是否正确，并说明理由：
（2） 若围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不在一个平面内，则安培环路定理不成立．
例14-9 如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密 度为?．该筒以角速度?绕其轴线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度．
解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i， i?2?R??/(2?)?R??
作矩形有向闭合环路如右图中所示．从电流分布的对称性分析可
??知，在ab上各点B的大小和方向均相同，而且B的方向平
??行于ab，在bc和fa上各点B的方向与线元垂直，在de, fe,cd上各点B?0．
??应用安培环路定理 ?B?dl??0?I
????R （1） 若所取围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不是圆，安培环路定理也成立．
例14-9图
可得 Bab??0iab B??0i??0R?? 圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为B??0R??，方向平行于轴线朝右． 例14-10 如右图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是 [ ]
(A) ab边转入纸内，cd边转出纸外．(B) ab边转出纸外，cd边转入纸内．
例14-10图
(C) ad边转入纸内，bc边转出纸外．(D) ad边转出纸外，bc边转入纸内．
例14-11 如图，长载流导线ab和cd相互垂直，它们相距l，ab固定不动，
c b I d O I b c a d cd能绕中点O转动，并能靠近或离开ab．当电流方向如图所示时，导线cd将[ ] (A) 顺时针转动同时离开ab． (B) 顺时针转动同时靠近ab．
a 例14-11图
(C) 逆时针转动同时离开ab． (D) 逆时针转动同时靠近ab．
例14-12 两个同心圆线圈，大圆半径为R，通有电流I1；小圆半径为r，通有电流I2，方向如图．若r << R (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为[ ]
(A) (C)
例14-13 载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩大小与线圈所围面积 ? ；在面积一定时，与线圈的形状 ? ．(填： 有关、无关)
习题
14-1 边长为l的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流 I (其中ab、cd与正方形共面)，在这两种情况下，线圈在其中心产
I a I I1 r I2 O ?0?I1I2r2R2． (B)
2?0I1I2r2R2．
R ?0?I1I2R2r． (D) 0．
例14-12图
b 生的磁感强度的大小分别为[ ] B 1 B 1 2(A) B1?0，B2?0． (B) B1?0，B2?22?0I?l22?0I?lc d 习题14-1图 I ．
22?0I?l22?0I?l (C) B1?，B2?0． (D) B1?，B2?．
14-2 在真空中，电流I由长直导线1沿垂直bc边方向经a点流入 一由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，再由b点沿平行ac边方向流出，经长直导线2返回电源(如图)．三角形框每边长为l，则在该正三角框中心O 点处磁感强度的大小为 ? ；磁感强度的方向为 ? 。
14-3 无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则圆心
I b I 2 O a 1 I e c 习题14-2图
R O P O点的磁感强度大小等于 [ ] (A)
?0I2?R． (B)
?0I?R (C) 0． (D)
?0I2R(1?1?)．
习题14-3图
14-4 如图，一半径为R的带电塑料圆盘，其中半径为r的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为+??，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为-??当圆盘以角速度??旋转时，测得圆盘中心O点的磁感强度为零，问R与r满足什么关系？
14-5 两根长直导线通有电流I，图示有三种环路；在下列情况下，
???B?d?等于： ? (对环路b)； ? (对环路c)．
O R r ??习题14-4图
14-6 有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流均为I，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向正相反，则在r < R1处B= ? ；在r > R3处B= ? ．
14-7 把轻的正方形线圈用细线挂在载流直导线AB的附近，两者在同一平面 内，直导线AB固定，线圈可以活动．当正方形线圈通以如图所示的电流时线圈将
I A R3 R1 R2 I I 习题14-6图
[ ]
B I＇ (A) 不动． (B) 发生转动，同时靠近导线AB．
14-7图
(C) 离开导线AB． (D) 靠近导线AB．
14-8 两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是 ? ；运动轨迹半径之比是 ? ．
14-9 如图所示，有两根平行放置的长直载流导线．它们的直径为a，反向流过相同大小的电流I，电流在导线内均匀分布．试在图示的坐标系中求出x轴上两导线之间区域[a,2152a]内磁感强度的分布．
I a O I 2a a x
习题14-9图
14-10 有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I在铜片
I a b P 上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的P点(如图)的磁感强?度B的大小为[ ] (A)
?0I2?(a?b)． (B)
?0I2?alna?bb．
习题14-10图