概率统计试卷A (评分标准) 2006.6.21
一. 选择题（15分，每题3分） [ 方括弧内为B卷答案 ]
B C A A D [ D B C B C ]
二. 填空题（15分，每题3分）
1. 74/85?0.8706 [ 72/87?0.8276]；
11k?122. P(X?k)?Ck0.612,?10.49k?10[P(X?k)?Ck0.710,?10.3k?12,13,?. k?10,11,12,?]
3. F(6,21)?F(6,21?0)?F(6?0,21)?F(6?0,21?0)
[F(a,b)?F(a,b?0)?F(a?0,b)?F(a?0,b?0)]； 4. 1/12 [ 1/7 ] ； 5.
XZn(n?1) [Xn(n?1)/Y].
三. 是非题（10分，每题2分）
是 是 非 非 是 [ 非 是 是 非 非] 三.
计算题（60分，每题10分）
1. 解：设A={选中的为甲盒}，B={选中的为乙盒}， C={选中的为丙盒}，D={取出一球为白球}，已知
312231P(A)?,P(B)?,P(C)? [ ,, ]
666666123123P(D|A)?,P(D|B)?,P(D|C)? [ ,, ] (4分)
336336（1）由全概率公式 P(D)?311223419?????? [ ] (3分) 63636693631?123（2）由Bayes公式 P(A|D)?63? [ ] (3分)
41989?2e?x?2y,x,y?02. 解：由题设有(X,Y)?f(x,y)??，[
otherwise?0,当z?0时， 有 FZ(z)?0；当z?0时， 有
?3e?x?3y,??0,x,y?0otherwise] (3分)
1
??zyFZ(z)?P(Z?z)?
x?zy??f(x,y)dxdy??x?2y[2edx]dy???00zz [] (5分) z?2z?3?2,z?0?2'得 fZ(z)?FZ(z)??(z?2) [
?0,z?0????2,z?0?2 ] (2分) ?(z?3)?0,z?0?3．解：（1）由 E(X)?0,E(XY)?2?3|x|x|x|edx?0，得 ?3?? cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0 (3分) （2）由于
?XY?cov(X,Y)?0，所以X与Y不相关。 (3分)
D(X)D(Y)（3）由于?a??，有
F(a,a)?P(X?a,Y?a)?P{(X?a)(|X|?a)}
?P(|X|?a)?P(X?a)P(|X|?a)?FX(a)FY(a)所以X与Y不相互独立。 (4分) 4．解：（1）计算得 E(Xk)?0,由切比雪夫不等式，???0，有
D(Xk)?3k2 (1分)
1n1n1n1n0?P[|?Xk??E(Xk)|??]?P[|?Xk?E(?Xk)|??] (2分)
nk?1nk?1nk?1nk?11nD(?Xk)nk?11n2?2?
?2??k?k?1n231n2??n?n?2231n?213?0,asn?? (2分)
（2）设次品数为X，则X?B(n,0.1)。算得 E(X)?20,D(X)?18，有 (2分)
P(0?X?18)?P(?20X?E(X)18?20??)??(?0.471)??(?4.714) (2分) 18D(X)18??(4.714)??(0.471)?1?0.6808?0.3192 [ 0.8810 ] (1分)
??2X， (2分) 5．（1） θ的矩估计量为 ?1
??max{X} (2分) θ的最大估计量为 ?2i1?i?n2n2n???是θ的无偏估计。 (3分) （2）由于E(?1)?E(2X)??E(Xi)????，所以?1ni?1ni?12 2
?nzn?1,z?[0,?]n??max{X}?f(z)??由于 ?， 有 ??2iM1?i?n?0,z?[0,?]??)? E(?2??????zfM(z)dz??0znzn?1?ndz?n??? n?1?不是θ的无偏估计。 (3分) 所以?2
6．解：（1）提出假设 H0:??72;若H0成立，有T?H1:??72 (1分)
X??0S/n?t(n?1)，当α=0.05时，n=10， t0.025(9)?2.2622，
得拒绝域 W?(??,?2.2622]?[2.2622,??) (2分) 由x?67.4,s2?5.932，算得 T0?x??0s/n??67.4?72??2.453?W， 拒绝H0
5.93/10[ x?71,s2?4.7842，T0?x??0s/n71?72??0.661?W，接受H0] (2分)
4.784/10（2）提出假设 H0:?2?36;若H0成立，有
H1:?2?36 (1分)
2(n?1)S22?2???(n?1)，当α=0.05时，n=10，?0.975(9)?2.700, 2?020]?0.025(9)?19.023，得拒绝域为 W?[0,2.70?[19.?0?2 3 (2分)
由x?67.4,s?5.93，算得??2220(n?1)s22?09?5.932??8.7875?W。接受H0
62[ x?71,s?22.89，??
220(n?1)s22?09?4.7842??5.722?W，接受H0 ] (2分)
62 3