风向标教育 知识创造财富 教育成就梦想
第三章 数论专题考点分析
1. 整除问题（整除问题、整除特性、整除技巧）
整除的四大系列：① 2系列：能被2整除的只需看末一位能否被2整除 能被4整除的只需看末两位能否被4整除
能被8整除的只需看末三位能否被8整除 （依此类推）
② 3系列：能被3整除的只需看各位数字之和能否被3整除
能被9整除的只需看各位数字之和能否被9整除 （不能依此类推） 能被99整除的从右开始，两位数为一段，各段数之和是99的倍数。 ③ 5系列：能被5整除的只需看末位是否为0或5 能被25整除的只需看末两位能否被25整除
能被125整除的只需看末三位能否被125整除 （依此类推） ④ 7、11、13系列：从右开始，三位数为一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是
7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数。
另外：被11整数还有：从右开始，奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数，则其也能被11整除。 合数的整除特征：判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法先分解质因数，观察因数之间的关系。 整除性质： ①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数)
②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。 ③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。 ④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
整除技巧： ①除数分拆：(互质分拆，要有特征)
②除数合并：(结合试除，或有特征) ③试除技巧：(末尾未知，除数较大) ④同余划删：(从前往后，剩的纯粹) ⑤断位技巧：(两不得罪，最小公倍)
例1：有一个两位数不能被3、6、9整除，加上8后就能被3、6、9整除了，请问这个两位数最大
是多少？
例2：书法兴趣小组的72名同学每人都买了一本相同的字帖，共计□85.□元，你能算出每本字帖
多少钱么？
例3：用1、2、3、4(每个数恰用一次)组成的四位数中，其中共有多少个能被11整除？
6
风向标教育 知识创造财富 教育成就梦想
2. 约数倍数（约数三定律、完全平方数、短除模型）
约数三定律：约数个数定律：(指数＋1)再连乘
约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘 约数积定律：自身的n次方(n＝约数个数÷2)
例1：恰有8个约数的两位数有______个。
例2：360的所有约数的和为多少？所有约数的积为多少？
短除模型
例1：已知两个自然数的和为54，其最小公倍与最大公约差为14，求这两个数。
若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半； 若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积。 例2：3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少? ?末位：0、1、4、5、6、9?完全平方数： ①特征 ? ?÷3余0或1余数：???÷4余0或1?例1：一天，小明在做一道题，声称答案是完全平方数，只见这道题是这样：A＝1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，老师一眼就瞅出了小明说错了，你发现了吗？
例2：记S＝(1×2×3×…×n)＋(4k＋3)，这里n≥3，当k在1至100间取正整数时，有______个不同的k，使得S为一个正整数的平方？
② 奇数个约数?完全平方数?偶指性
例3：已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值为_______。
例4：礼堂里有100盏灯，依次按1～100的顺序排号。每盏灯由一根灯绳控制，拉一个亮，再拉一
下灭。100个学生依次进入礼堂，第1名学生把编号为1的倍数的灯都拉一下，第2名学生把编号为2的倍数的灯都拉一下……第100名学生把编号为100的倍数的灯都拉一下；最后礼堂里有________盏灯是亮的？
③ 完全平方数在数论中的应用：
两个因数均为完全平方数的话，积一定为完全平方数 两个因数均非完全平方数的话，积是否为完全平方数不确定
例5：能否找到这么一个数，它加上24和减去30所得到的两个数都是完全平方数？
7
风向标教育 知识创造财富 教育成就梦想
3. 质数合数（质数明星、分解质因数） 质数明星： 2?奇偶性；5?个位
例：当P和P＋5都是质数时，P＋5＝______。 分解质因数：1．质数：快速判断
2．唯一分解定律
3．见积就拆——大质因子分析
例1：6个奇数的和为98，积为4267305。这6个奇数中最大数与最小数的和为______。
例2：2001个连续自然数和为a×b×c×d，若a、b、c、d均为质数，则a＋b＋c＋d的最小值为______。 【策略】1. 题目中提到质数，但不考分解质因数的话，考虑质数明星2和5；
2. 分解质因数衍生考点：约数倍数分析法、乘积末尾0的个数问题，见积就拆技巧。 4. 余数问题（余数求解、带余除法、同余问题、剩余问题） 余数定律： 1．利用整除性质求余数
2．利用余数性质求余数 3．利用除数分拆求余数
带余除式： 代数思想，化简题目?数论方程?去余化乘，借助约倍关系逐步验证 例：已知2008被一些自然数去除，余数都是10。这样的自然数共有______个。 同余问题： 1．同余定理：如果a与b除以m余数相同，则a、b之差为m的倍数。
余数性质?同余 2．①不同余????2
5
②去余化乘，找倍试约。
例：一个自然数除429、791、500所得余数分别是a＋5、2a、a。求这个自然数与a的值。
剩余问题：
例1：1357911131517…103除以9余______。 例2：利用余数性质求余数：2009
2009
除以9余______。
2004例3：利用除数分拆求余数：200420042004?2004???????????÷45余______。
数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，保守估计，平均每套试卷25%分值考查数论。小升初数论考查三重点：约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。“代数思想＋枚举验证”数论杀伤力最强的武器。
8
风向标教育 知识创造财富 教育成就梦想
第四章 行程专题考点分析
相遇问题 追及问题 环形问题 火车过桥 流水行船 变速问题 多次相遇 多节点行程 多人行程 间隔发车 变道问题 扶梯问题 走走停停 钟表行程 接送问题 …… 1. 行程问题：1．行程问题三要素：路程，速度，时间。
2．基本公式：路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 速度×时间＝路程
2. 相遇问题：1．新三要素：路程和，速度和，相遇时间。
2．新基本公式：路程和÷速度和＝相遇时间 路程和÷相遇时间＝速度和
速度和×相遇时间＝路程和
3. 注意：相遇问题中的隐藏的路程差，如同追及问题。
3. 追及问题：1．新三要素：路程差，速度差，追及时间。
2．新基本公式：路程差÷速度差＝追及时间 路程差÷追及时间＝速度差
速度差×追及时间＝路程差
3．注意：①特点，两人的时间相同；②难点，是找到两人的路程差。
? 例1：夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点
50米处相遇，求两地的距离是 米。
? 例2：有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走60米。现在甲从A地，
乙、丙两人从B地同时出发相向而行。在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么，A、B两地之间的距离是 米。
? 例3：甲乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，
6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离是 米。 4. 环形问题两个重要考点：① 同向而行：多走一圈，追上一次
② 相向而行：合走一圈，相遇一次
? 例1：在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背
向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？
? 例2：佳佳和海海在操场上比赛跑步，海海每分钟跑26米，佳佳每分钟跑21米，一圈跑道长50米，
他们同时从起跑点出发，那么海海第四次超过佳佳需要 分钟。
? 例3：在400米的环形跑道上，佳佳、海海两人分别从A、B两地同时出发，同向而行。4分钟后，海
海第一次追上佳佳，又经过10分钟海海第二次追上佳佳。已知海海的速度是每分钟180米，那么佳佳的速度是 ，A、B两地相距 米。
9
风向标教育 知识创造财富 教育成就梦想
5. 多次往返问题：不同出发点的往返相遇：第一次相遇合走1个全长，以后每次相遇合走．．2个全长 不同出发点的往返追及：第一次追及多走1个全长，以后每次追及多走．．2个全长
相同出发点的往返相遇：每次相遇，合走．．2个全长
相同出发点的往返追及：每次追及，多走．．2个全长
? 例1：甲、乙两车分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返．甲车的速度是每
小时25千米，乙车的速度是每小时35千米．请问：出发 小时后两车第5次迎面相遇。 ? 例2：甲、乙两车从相距70千米的A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行走，甲车每小时行40
千米，乙车每小时行30千米，出发 小时后甲第5次追上乙。
? 例3：甲、乙两车同时从A地出发，在相距70千米的A、B两地之间不断往返，甲车每小时行60千米，
乙车每小时行80千米，出发 小时后两车第5次迎面相遇。 ? 例4：甲、乙两车同时从A地出发，在相距50千米的A、B两地之间不断往返，甲的速度比乙快，第4
次甲追上乙时，甲比乙多走了 千米。 6. 流水行船三个重要考点：① 四个速度间的关系：
② 两船相向而行：水速不影响速度和；同向而行：水速不影响速度差 ③ 船上落物，船继续前行时间＝船掉头找回时间，与水速无关
进阶方法：流水行船往返相遇问题，用分段法分析法（某船一旦变速立即分段讨论） 题目中假缺条件，例如只给了某一个条件，可以用设数法。
? 例1：A、B两个码头间的水路为90千米，其中A码头在上游，B码头在下游。第一天水速为每小时3
千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航同向而行，3小时后乙船追上甲船。已知甲船的静水速为每小时18千米。乙船的静水速度是 。第二天由于涨水，水速变为每小时5千米。甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航相向而行，出发 小时后相遇。
? 例2：一条小河上，A、B两地相距140千米，甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，相向而行。若甲、
乙两船的静水速度分别为每小时40和30千米，则出发后 小时相遇。 ? 例3：一条小河上，A在B上游120千米处，甲、乙两船同时从B出发逆流而上开往A。若甲、乙两船
的静水速度分别为每小时70和50千米，水速为每小时10千米，则当甲到达A时，乙距离A多少千米？ ? 例4：轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天。若从A城放一个无动力的木筏，它顺水
漂到B城需 天。
? 例5：某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，
立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了 分钟。
7. 火车过桥问题：过桥路程＝车长＋桥长 过桥时间＝过桥路程÷车速＝（车长＋桥长）÷车速
10