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二、高频考点聚焦
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1．对于解三角形的考查，命题多利用正、余弦公式，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．
2．解题时，要弄清三角形三边、三角中已知什么、求什么，分清题目条件与结论，并结合三角形的有关性质，如大边对大角，内角和定理等，注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增根的情况．
[例1] (2012·全国新课标高考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3asin C－ccos A.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c. [解] (1)由c＝3asin C－c·cos A及正弦定理得 3·sin A·sin C－cos A·sin C－sin C＝0. π1由于sin C≠0，所以sin(A－)＝.
62
ππ5πππ
又0
66666π
所以A＝.
3
1
(2)由正弦定理可得△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4.而由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos
2A，故b2＋c2＝8.
则(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝16而b＋c＞0故b＋c＝4， ∴b，c是方程x2－4x＋4＝0的两根，解得b＝c＝2. [自主演练]
利用正、余弦定理解斜三角形 ????????1．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知AB·AC＝9，sin B＝cos Asin C，(1)求边
AC的长度；(2)若BC＝4，求角B的正弦值．
????????解：(1)由AB·AC＝9得，cbcos A＝9.
又sin B＝cos A·sin C，
∴cos A·c＝b代入cbcos A＝9得b＝3.即|AC|＝9 (2)∵cbcos A＝9，
222
9b＋c－a
∴cos A＝＝，把a＝4，b＝3代入得c＝5，
bc2bc
∴c2＝b2＋a2. b3
∴sin B＝＝. c5
1．正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试题以解答题为主，难度一般．
2．解决这类题目，一要掌握仰角、俯角和方位角等常用术语；二要通过审题把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；三要利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．
[例2] 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
[解] (1)法一：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
设小艇与轮船在C处相遇(如图)．
正、余弦定理的实际应用
在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝103，AC＝20sin 30°＝10. 又AC＝30t，OC＝vt，
101103
此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝303，
3031
3
即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． 法二：设相遇时小艇的航行距离为s海里， 则s＝
900t2＋400－2·30t·20·cos?90°－30°?
＝ ＝
900t2－600t＋400 1t－?2＋300 . 900??3?1103
故当t＝时，s最小值＝103，v＝＝303.
31
3
即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B处相遇．
由题意可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)， 400600
化简得v2＝2－＋900
tt13?2
＝400??t－4?＋675， 1由于0＜t≤，
21
即≥2， t1
所以当＝2时，
tv取得最小值1013，
即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时． [自主演练]
2．如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔顶A的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500 m，求塔高AB.
解：设AB＝x，∵AB垂直于地面，
∴△ABM，△ABN，△ABP均为直角三角形． xx∴BM＝＝3x，BN＝＝x.
tan 30°tan 45°x3
BP＝＝x.
tan 60°3
在△MNB中，由余弦定理知
BM2＝MN2＋BN2－2MN·BN·cos∠MNB， 在△PNB中，由余弦定理知
BP2＝NP2＋BN2－2NP·BN·cos∠PNB， 又∵∠MNB与∠PNB互补，MN＝NP＝500， ∴3x2＝250 000＋x2－2×500x·cos∠MNB，① 12
x＝250 000＋x2－2×500x·cos∠PNB.② 3
10
①＋②，得x2＝500 000＋2x2，
3∴x＝2506或x＝－2506(舍去)． 所以塔高为2506 m.
1．数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小．
2．在等差(或等比)数列中，首项a1与公差d(或公比q)是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a1，d，n，an，Sn或等比数列中的五个量a1，q，n，an，Sn中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用Sn求an时，要注意验证n＝1是否成立．
[例3] (2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值． [解] (1)设数列{an}的公差为d，由题意知
??2a1＋2d＝8，?解得a1＝2，d＝2， ?2a＋4d＝12.?1
等差数列与等比数列的基本运算
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
n?a1＋an?n?2＋2n?(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．
22因a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a2k＝a1Sk＋2. 从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)．因此k＝6. [自主演练]
3．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、