实验三：用FFT对信号作频谱分析 一、实验原理与方法
1、用FFT对信号作频分析是学习数字信号处理的重要内容，经常需要进行分析的信号是模拟信号的时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D和分析误差。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现的频率分辨率是2?N，因此要求2?N?D。可以根据此式选择FFT的变换区间N。误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N要适当选择大一些。
2、周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
3、对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。
二、实验内容
1、对以下序列进行FFT谱分析： x1(n)?R4(n)
??n?1 x2(n)??8?n??00?n?34?n?7其他n
??4?n0?n?3 x3(n)??n?34?n?7
?其他n?0选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析。程序见附录3.1、实验结果见图3.1。 2、对以下周期序列进行谱分析：
?x4(n)?cosn
4
??x5(n)?cosn?cosn
48
选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。程序见附录3.2、实验结果见图3.2。 3、对模拟周期信号进行频谱分析：
x6(t)?cos8?t?cos16?t?cos20?t
选择采样频率Fs=64Hz，FFT的变换区间N为16、32、64三种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。程序见附录3.3、实验结果见图3.3。
4、已知有序列：
??n?1 x2(n)??8?n??00?n?34?n?7其他n
??4?nx3(n)??n?3??0 0?n?34?n?7其他n
x9(n)?x2(n)?jx3(n)
对x9(n)选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析。程序见附录3.4、实验结果见图3.4。 5、已知序列x(n)??1,2,3,3,2,1?。
（1）求出x(n)的傅里叶变换X(ejw)，画出幅频特性相频特性曲线（提示：用1024点FFT近似X(ejw)）；
（2）计算x(n)的N(N?6)点离散傅里叶变换X(k)，画出幅频特性和相频特性曲线；
（3）将X(ejw)和X(k)的幅频特性和相频曲线特性分别画在同一幅图中，验证
X(k)是X(ejw)的等间隔采样，采样间隔为2?/N；
（4）计算X(k)的N点IDFT,验证DFT和IDFT的唯一性。程序见附录3.5、实验结果见图3.5、3.6、3.7。
6、选择合适的变换区间长度N，用DFT对下列信号进行谱分析，画出幅频特性和相频特性曲线。程序见附录3.6、实验结果见图3.8、3.9。
x2(n)?sin(0.45?n)sin(0.55?n)
x3(n)?2
?n1R21(n?10)
三、实验结果和分析、讨论及结论 1、实验结果
图3.1 x1(n)、x2(n)、x3(n)的幅频特性曲线
实验分析、讨论及结论：
x1(n)、x2(n)、x3(n)是非周期的对称序列。由实验结果可以看出所得的实验频谱图是正确的，它与理论频谱是一致的。 2、实验结果
图3.2
x4(n)、x5(n)的幅频特性曲线
实验分析、讨论及结论：
?x4(n)?cosn的周期为8，所以N=8和N=16均是其周期的整数倍，得到正
4确的单一频率正弦波的频谱，仅在0.25?处有1根单一谱线。
??x5(n)?cosn?cosn的周期为16，所以N=8不是其周期的整数倍，得到
48的频谱不正确。N=16是其一个周期，得到正确的频谱，仅在0.25π和0.125π处有2根单一谱线。 3、实验结果
图3.3
x6(t)采样频率Fs=64Hz的幅频特性曲线
实验分析、讨论及结论：
由实验结果可知，x6(t)有3个频率成分：f1=4Hz, f2=8Hz, f3=10Hz。所以
x6(t)的周期为0.5s，采样频率Fs=64 Hz=16f1=8f2=6.4f3。
变换区间N=16时，观察时间Tp=16T=0.25 s，不是x6(t)的整数倍周期，所以所得频谱不正确，如图3.3（6a）所示。变换区间N=32，64 时，观察时间Tp=0.5s，1s，是x6(t)的整数周期，所以所得频谱正确。 4、实验结果
(9a) 8点DFT[x9(n)]302520302520(9b) 16点DFT[x9(n)]幅度151050幅度00.51ω/π1.5215105000.51ω/π1.52 图3.4 x9(n)的幅频特性曲线 实验分析、讨论及结论： 实验结果表明所得x9(n)的频谱和其理论得出的频谱一致。它是由x2(n)和jx3(n)相加所得，可以看出它是一个非周期性的近似对称序列。 5、实验结果 x(n)的幅频曲线15105000.20.40.60.811.21.41.61.82x(n)的相频曲线420-2-400.20.40.60.811.21.41.61.82 图3.5 傅里叶变换X(ejw)的幅频特性相频特性曲线