?(??1)x?,0?x?1, (???1) f(x;?)??其他，?0,X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，求参数?的矩估计量和极大似然估计量.
解： E(X)??10(?+1)x??1dx???1 ……………3分 ??2 解
2X?1??1?X，得?的矩估计量为 ……………2分 ??21?Xn L(?)＝（??1）(?x)ii?1n? lnL?nln（??1）+??lnx ……………2分
ii?1nndlnLn 令???lnxi?0 得?的极大似然估计量为?1?d???1i?1n?lnXi?1n …………3分
i5．（15分）设总体X服从区间[0，?]上的均匀分布，?＞0未知，X1,X2,,Xn是来自X的样本,（1）求?的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解：（1）EX??2，令
?2??2X； ……………5分 ?X，得?的矩估计量?1?1?n,0?x1,x2,,xn??,xn;?)?????
?0，其它? 似然函数为：L(x1,x2,??max?X,X, 其为?的单调递减函数，因此?的极大似然估计为?212,Xn??X(n)。
??2EX??，所以??为?的无偏估计量。 ……………5分 （2）因为E?11??x?n?11,0?x???n?又因为X(n)的概率密度函数为：f(n)(x)??? ?????0,其它? 所以EX(n)???0?x?xn?????n?11?dx?n? n?1n?1X(n)为?的无偏估计量。 n?为?的有偏估计量，而??3? 因此?2?2/12?2?? （3） D?1?4DX?4?， ……………5分
n3n???n?1?DXD?3(2)???n?
2??2?x?n?11?n??xn??dx????? ???0??n?1???????11?(n?2)??2??2?D?1n(n?2)3n2?n?1?????n?2??于是?3
n?1??2X更有效。 X(n)比?1n6. （15分）设X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是取自总体的简单随机样本，X为样本均值，S为样本二阶中心矩，S为样本方差，问下列统计量：（1）
2n22nSn?2，（2）
X??Sn/n?1，
?(X（3）
i?1ni??)22?各服从什么分布？
解：（1）由于
(n?1)S2?221nn?12~?(n?1)，又有S??(Xi?X)2?S
ni?1n22n nS?(n?1)S，因此
2n2nSn?2~?2(n?1)； ……………5分
SnSnn?1（2）由于
X??S/n~t(n?1)，又有X???，因此
Sn/n?1~t(n?1)； ……………5分
Xi??（3）由Xi~N(?,?2)(i?1,2,?,n)得：
n?~N(0,1)(i?1,2,?,n)，由?2分
布的定义得：i?1?(Xi??)2~?2(n) ……………5分
?27. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.
解：第1个能正确回答的概率是5/8, ………5分
第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)?15/56, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)?5/56,
前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)?1/56, …5分 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)?0.
设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X,则X有分布
X P 0 5/8 1 15/56 2 5/56 3 1/56 8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.
解：设一天中某人收到X位朋友的电子邮件,则X~B(100,0.04),一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是P(X?4).
1) 用二项分布公式计算 …5分
kP(X?4)?1?P(X?4)?1??k?0C1000.04k(1?0.04)100?k?0.5705.
3 2) 用泊松近似律计算 …5分
P(X?4)?1?P(X?4)?1??3Ck0.04k(1?0.04)100?kk?0100?1??3k?04k?4e?0.5665. k!9. （10分）某商品的每包重量X~N(200,?2).若要求P{195?X?205}?0.98,则需要把?控制在什么范围内. 解 设Z?X?200?~N(0,1),则Z~N(0,1). …4分
205?200??195?200P{195?X?205}?P??Z????(5/?)??(?5/?)?2?(5/?)?1.
????P{195?X?205}?0.98?2?(5/?)?1?0.98
?5/????1(0.99)?2.33???5/2.33?2.15. …6分 10. （15分）设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为串联,并
联和备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),如图7.1所示.L1和L2的寿命为X和Y,分别有密度pX(x)??e??xI(0,??)(x)和pY(y)??e??yI(0,??)(y),其中??0,??0且???.请就这三种联接方式分别写出系统L的寿命Z的密度.