典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一
个通项公式
⑴7，77，777，7777，?
⑵
23,?415,635,?863,? ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9? 解
析
：
⑴
将
数
列
变
形
为7?(10?1),7(102799?1),9(103?1)，
?,79(10n?1)
⑵分开观察，正负号由(?1)n?1确定，分子是偶数
2
n，分母是
1?3，3?5，5?7，?,(2n?1)?(2n?1)，
故数列的通项公式可写成a1)n?12nn?(?(2n?1)(2n?1)
⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，?。可得数列的通项公式为a1)nn?n?1?(?2 点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思
维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。
题型二 应用a??S1(n?1)n??Sn?Sn?1(n?2)求数列通项
例2．已知数列?an?的前n项和Sn，分别求其通项
公式.
⑴Snn?3?2 ⑵Sn?1(an?2)28(an?0)
解析：⑴当n?1时,a?S111?3?2?1， 当n?2时,an?Sn?Snn?1?(3?2)?(3n?1?2)
?2?3n?1
又a1?1不适合上式，故
a?1(n?1)n???2?3n?1(n?2)
(2)当n?1时,a11?S1?8(a1?2)2,解得a1?2当n?2时,an?Sn?Sn?1?1 8(a2?12n?2)8(an?1?2)所以(a22n?2)?(an?1?2)?0
所以(an?an?1)(an?an?1?4)?0
又an?0,所以an?an?1?4，可知?an?为等差数列，公差为4
所以an?a1?(n?1)d?2?(n?1)?4?4n?2
a1?2也适合上式，故 an?4n?2
点拨：本例的关键是应用
a???S1(n?1)n?Sn?Sn?1(n?2)求数列的通
项，特别要注意验证a1的值是否满足\n?2\的一般性通项公式。
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列?an?的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴a111?2,an?1?an?4n2?1
(2)a1?1,an?0,(n?1)a22n?1?nan?an?an?1?0，
⑶a11?1,an?1?2an?1 解析：⑴因为a?a1n?1n?4n2?1，所以 1
a1n?1?an??14n2?12(12n?1?12n?1) 所以a1112?a1?2(1?3)
a?a11132?2(3?5)
aa1114?3?2(5?7)
?，?，
a111n?an?1?2(2n?3?2n?1)
以上(n?1)个式相加得
a11n?a1?2(1?2n?1) 即：a14n?3n?1?4n?2?4n?2 ⑵由(n?1)a2n?1?a2n?an?1?n?an?0
有?(n?1)an?1?nan?(an?1?an)?0?an?0,?an?1?an?0
?(n?1)an?1?nan?0即:an?1na? nn?1?an?anaa?n?1?a2?a1 n?1an?2a1?n?1n?n?2n?1???12?1?1n ?a1n?n
⑶方法一、设a1n?1?m?2(an?m)
?a?12a11n?1n?2m,又an?1?2an?1
?令?12m?1,?m??2,于是a1n?1?2an?1
可化为
a1n?1?2?2(an?2)?a2?(a1
n?1?2)?(2)n?1?a1n?2?2n?1
方法二：∵a1n?1?2an?1 ?a?12a11nn?1?1?2(2an?2?1)?1
?(12)2a1111n?2?2?1?(2)2(2an?3?1)?2?1 ?(12)3?a11n?3?(2)2?2?1 =?
?(1)n?1112a1?(2)n?2???2?1 1?(1)n?1?(12)n?1?2?(1)n?1?2?2?(1)n?1
1?1222?2?(112)n?1?2?2n?1
方法三：?a?12a1n?1n?1,an?2?2an?1?1
两式相减，a1n?2?an?1?2(an?1?an)
?a11n?1?an?(a2?a1)?(2)n?1?(2)n
即：a112?a1?2,a3?a2?(2)2,?
a1n?1n?an?1?(2)
相加得：a111n?a1?2?(2)2???(2)n?1
1?1n?2??1?(2)?1????1?(1)n?1 1?122?a1n?2?2n?1 点拨：在递推关系中若an?1?an?f(n),求an用累
加法，若
an?1a?f(n),求an用累乘法，若nan?1?pan?q，求an用待定系数法或迭代法。
2
数学门诊
已知Sn是数列?an?的前
n项和，且满足
S2n2a2n?3n?Sn?1，其中an?0,n?2,3,4?，
又a1?2，求数列?an?的通项公式。
错解：当n?2时，由已知得S222n?Sn?1?3nan, 又a2n?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n 于是Sn?2?Sn?1?3(n?1)2两式相减得，
Sn?1?Sn?1?6n?3，即 an?1?an?6n?3
于是an?2?an?1?6n?9 所以两式相减得
an?2?an?6
所以a1,a3,a5,? 成等差数列，公差为6，
a2,a4,a6,?,也成等差数列，公差为6，从而a1,a2,a3,a4,a5,a6,?成等差数列，公差为6，
所以，an?2?(n?1)?6?6n?4
正解：当n?2时，由已知得S22n?S2n?1?3nan,
又an?Sn?Sn?1?0，
所以S2n?Sn?1?3n
于是Sn?1?Sn?3(n?1)2，两式相减得：
Sn?1?Sn?1?6n?3，即an?1?an?6n?3
于是an?2?an?1?6n?9，所以an?2?an?6，又
S2?S1?12，所以a2?8
又a3?a2?15，所以a3?7 则n?2k时
an?a2k?a2?(k?1)?6?6k?2
?6?n2?2?3n?2 n?2k?1时，an?a2k?1?a3?（k?1）?6
?6k?1?6?n?12?1 ?3n?2?2（n?1）a??n?3n?2（n为偶数）
??3n?2（n为大于1的奇数）
4.设a1,a2,?,a50从?1,0,1这三个整数中取值的数列
，
若
a1?a2???a50?9且(a1?1)2?(a2?1)2???(a50?1)2?107则
a1,a2,?,a50中有0的个数为11 解
：
设
有
n个0，则由
(a1?1)2?(a2?1)2???(a50?1)2?10有(a221?a2???a250)+2(a1?a2+?+
a50+50=107,
?a21?a22???a250?39.
所以在a1,a2,?,a50中有39个1或-1，
所以在a1,a2,?,a50有11个0。
5.已知数列?an?满足a1?1,
an?1n?3?an?1,(n?2)，
⑴求a2和a3
⑵证明：a3n?1n?2
解：(1)∵a1?1, ∴a2?3?a1?4
3
7a3?32?a2?13.
⑵证明：由已知an?1n?an?1?3 有
an?（an?an?1）?（an?1?an?2）???（a2?a1）?a
1n?3n?1?3n?2???3?1?3?12 6.已知数列?an?中，an?（n?2）（?910）n试问n
取何值时，an取最大值？并求此最大值．
（n?3）（?9n?1解：因为
an?1a?10）9n?3n（n?2）（?9?? n10n?210）当且仅当n?7时，
an?1a?１，即a8?a7 n所以当n?7时 an?1a＞１，即 nan?1?an 即a7?a6?a5???a1
当n?8时，
an?1a?1 an?an?1 n即a8?a9?a10?? 故当n?7或8时，an最大，
(a98n)max?a7?a8?107
1． 若
数
列
?an?满
足
：
?2a,(01an?1??n?an??2)， ??2a1n?1,(2?an?1)a61?7，则a20的值为（ Ｂ ）
?2a,(1解：
an?1??n0?an?)??12，?2an?1,(2?an?1)a1?17???1??2，１?? aa52?21?1?7???1??2，1?? a3?2a2?1?37???1??0，2??a6?14?2a3?7???2，1???
a?2a554?1?7，?由此猜想：an?3?an 所以a20?a3?6?2?a52?7，选Ｂ 二、填空题
5．已知数列?a2n?的前n项和Sn?n?4n?1，则
a??2,(n?1)n???2n?5,(n?2)
6．已知数列?an?中，
a1?2，a2?3，
an?2?3an?1?2an,a7?65
解:
an?2?an?1?2(an?1?an)a2?a1?1?a3?a2?2(a2?a1)?2a4?a3?2(a3?a2)?4a5?a4?2(a4?a3)?8
a6?a5?2(a5?a4)?16a7?a6?2(a6?a5)?32?a7?a1?1?2?4?8?16?32?a7?657．已知数列?a?98n?的通项
nn?99（n?N?），
4
则数列?an?的前30项中最大项和最小项分别是
a10，a9
解：构造函数y?x?98x?99?1?99?98x?99
由函数性质可知，函数在(??，99)上递减，且
y?1
函数在(99，＋?）上递增且y?1
又99?(9，10）?a10?a11?a12???a30?1?a1?a2???a9?a10最大，a9最小三、解答题 8．已知?an?中，a1?13，前n项和Sn与an的关系是Sn?n(2n?1)an，求an 解：由Sn?n(2n?1)an得
Sn?1?(n?1)(2n?1)an?1?an?1?Sn?1?Sn?an?1?(n?1)(2n?1)an?1?n(2n?1)an?(2n2?3n)an?1?n(2n?1)an?an?12n?1a?n2n?3?aann?a?an?1?an?2???a2a1n?1an?2an?3a1?2n?32n2n?1??52n?753112n?1?2n?3???9?7?5?3?1(2n?1)(2n?1)?1 4n2?19．在数列?a11n?中，an?2，an?1?an?1（n?N? ）Sn为前n项和.⑴求证：?an?是以
3为周期的周期函数 ⑵求S2010
an?3?1?1an?2?1?11?1?11?a1?1n?11?1a
n?1?11?a?1?an?1n(an?1)?anan?1?1?an?1?ana11?2，a2??1，a3?2
S2010?（a1?a2?a3）?（a4?a5?a6）???（a2005?a2006?a2007）?（a
2008?a2009?a2010）?670（a1?a2?a3）?1005．设数列?an?的前n项和为Sn，点(n，Snn)，
（n?N?）均在函数y?3x?2的图像上，⑴求数列?an?的通项公式 ⑵设b3n?a,Tn是数列?bn?的前前n项和，
nan?1求使得Tmn?20 对所有n?N?都成立的最小正整数m。
解：⑴依题意得：
Snn?3n?2，即Sn?3n2?2n 当n?2时，an?Sn?Sn?1?（3n2?2n）?[（3n?1）2?（2n?1）]?6n?5当n?1时，a1?S1?1?6?1?5
故an?6n?5，（n?N?）⑵由⑴得：
5
10