第二章 矩阵及其运算
矩阵实质上就是一张长方形数表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力工具。矩阵的重要作用首先在于它不仅能把头绪纷繁的事物按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于被一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向；其次在于它能恰当地刻画事物之间的内在联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系；最后在于它还是我们求解数学问题的一种特殊的“数形结合”的途径。
在本课程中，矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性及线性方程组的解法等的有力且不可替代的工具，在线性代数中具有重要地位。本章中我们首先要引入矩阵的概念，深入讨论矩阵的运算、矩阵的变换以及矩阵的某些内在特征。
本章基本要求：
1. 理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特殊的矩阵。
2. 熟练掌握矩阵的线性运算（即矩阵的加法及矩阵与数的乘法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式以及它们的运算规律。
3. 理解可逆矩阵的概念、性质以及矩阵可逆的充要条件，理解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。
§1 矩 阵
引例
显然，知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，这个线性方程组就确定了。确切地说，线性方程组可为如下形式的矩形数表：
a11 a12 ? a1n b1
a21 a22 ? a2n b2
? ? ? ? ?
an1 an2 ? ann bn
所确定，这样的矩形数表就称矩阵。
例：设有线性方程组
?x1?5x2?x3?x4??1?x?2x?x?3x?3?1234 ?3x?8x?x?x?1234?1??x1?9x2?3x3?7x4?7这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形数表如下：
?15?1?1?1????1?2133??38?111? ???1?9377???这个数表决定着给定方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题。因此，研究这个数表就很有必要。
定义1 由m?n个数aij（i?1，2，?，m；j?1，2，?，n）排成的m行n列的数表
a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2n
? ? ? ? ?
am1 am2 ? amn
称为m行n列矩阵，简称m?n矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个圆括号（或方括号），并用大写黑体字母表示它，记为
?a11??aΑ??21???a?m1一个m?n矩阵A也可简记为
a12a22?am2?a1n???a2n?
?????amn??这m?n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij称为矩阵A的第i行第j列元素，即(i,j)元。
A?Am?n?(aij)m?n或A?(aij)
元素是实数的矩阵称为实矩阵，而元素是复数的矩阵称为复矩阵。本节中的矩阵都指实矩阵。 所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记为O。注意不同型的零矩阵是不相等的。 所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵。
若矩阵A?(aij)的行数与列数都等于n，则称A为n阶方阵，记为An。 说明：n阶方阵仅是由n个元素排成的一张数表，注意它与n阶行列式的区别。 如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵。
如果矩阵A，B为同型矩阵，且对应元素均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A?B。 例：设A???2?12?x3??1x3????，，已知A?B，求x，y，z。 B?????265z??y6z?8?解：∵ 2?x?x，2?y，5z?z?8，∴ x?1，y?2，??2。
例：甲、乙、丙、丁、戊五人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这五本书的厚度以及他们五人的阅读速度差不多，因此，五人总是同时交换书，经四次交换后，他们五人读完了这四本书，现已知：
⑴ 甲最后读的书是乙读的第二本书；
⑵ 丙最后读的书是乙读的第四本书； ⑶ 丙读的第二本书甲在一开始就读了； ⑷ 丁最后读的书是丙读的第三本； ⑸ 乙读的第四本书是戊读的第三本书； ⑹ 丁第三次读的书是丙一开始读的那本书。 试根据以上情况说出丁第二次读的书是谁最先读的书？
解：设甲、乙、丙、丁、戊最后读的书的代号依次为A、B、C、D、
甲 乙 丙 丁 戊 1 ?xy?2 ?3 ??AE，则根据题设条件可以列出右面的初始矩阵，其中的x，y表示尚未
确定的书名代号，同一字母代表代表同一本书。
由题意知，经5次阅读后乙将五本书全都阅读了，则从上述矩阵可以 看出，乙第三次读的书不可能是A，B或C。另外由于丙在第三次阅读的 是D。所以乙第三次读的书是E，从而乙第一次读的书是D。同理可推出 甲第三次读的书是B，因此上述矩阵中y为A，x为E，由此可确定各 人的阅读顺序，故丁第二次读的书是戊一开始读的那本书。
例：书P30 例1、2、3。 几种特殊矩阵
⑴ 只有一行的矩阵A??a1记作
?4 ?C?5 ?ABxDC??yC???DE??甲 乙 丙 丁 戊 1 ?ΕE?2 ?CC3 ?BB?4 ?DD?5 ?ADACEBAEBEDAACBEEBCDB??D?C??AA?E??a2?an?称为行矩阵或行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也
A??a1,a2,?,an?
?b1????b2?⑵ 只有一列的矩阵B???称为列矩阵或列向量。
????b??m???10?0???0??0??2⑶ n阶方阵?称为n阶对角矩阵，其特点是：主对角线上以外是元素全是零，
????????00???n??对角矩阵也记为
A?diag(?1,?2,?,?n)
?10??01⑷ n阶方阵?????00??0???0?称为n阶单位矩阵，单位矩阵也记为
?????1??E?En（或I?In）
这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（即主对角线）上的元素都是1，其他元素都是0，
即单位矩阵E的第i行第j列处的元素为
?1i?j， ?ij??，i?j0?单位矩阵Em，En满足
EmAm?n?Am?n，Am?nEn?Am?n，
即
EA?AE?A，
对于n阶矩阵A，规定A?E。
单位矩阵E在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似。
⑸ 当一个n阶对角矩阵A的对角元素全部相等且等于某一数a时，称A为n阶数量矩阵，即
0?a0?0????0a?0?。 Α??????????00?a???此外，上（下）三角形矩阵的定义与上（下）三角形行列式的定义类似。 如果n阶矩阵A?aij中的元素满足条件
??aij?0，i?j（i,j?1,2,?,n）
则称A为n阶上三角形矩阵，即
?a11??0A?????0?如果n阶矩阵B?bij中的元素满足条件
?a1n??a22?a2n?，
?????0?ann??a12??bij?0，i?j（i,j?1,2,?,n）
则称B为n阶下三角形矩阵，即
?b110??b21b22B??????b?m1bm20???0?。
?????bnn???显然，对角矩阵即可以看做上三角形矩阵，也可以看做是下三角形矩阵，上、下三角形矩阵统称为三角形矩阵，直接验证可知
?a11??0????0??a1n??b11b12??a22?a2n??0b22??????????0?ann?0??0a12?b1n??a11b11???b2n??0??????????bnn???0*a22b22?0*???*?，
?????annbnn???其中“*”表示主对角线上方的元素，即两个同阶的上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵；下三角形矩阵具有类似性质。
若A，B为同阶结构三角形矩阵，容易验证kA，A?B，AB仍是同阶同结构三角形矩阵。 由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。
?10?例如矩阵??00??所对应的线性变换
???x1?x， ?y?0?1可看作是xOy平面上把向量OP??1?????变为向量OP??x??y??x1??x??的变换（或看作是把点P变为点P1???????y1??0?的变换，参看下左图），由于向量OP（即点P1是点P在x轴上的投影），1是向量OP在x轴上的投影向量因此这是一个投影变换。
?yPyP1P
又如矩阵??OP1xO?x?cos??sin???对应的线性变换 ??sin?cos???x1?xcos??ysin?， ?y?xsin??ycos??1把xOy平面上把向量OP???y??，设OP的长度为r，幅角为?，即设?y??变为向量OP1???1???x?rcos?，y?rsin?，那么
?x??x1?x1?r(cos?cos??sin?sin?)?rcos(???)， y1?r(sin?cos??cos?sin?)?rsin(???)。
?角（即把表明OP1的长度也为r，而幅角为???。因此这是把向量OP（依逆时针方向）旋转
点P以原点为中心逆时针旋转?角）的旋转变换，参见上右图。
§2 矩阵的运算