万有引力与航天
1．[2015·邢台四模]为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为( )
A.C.4πr223
T2R2gr3T2
2
T2R2gB.23 4πmrD.4πmr2
3
4πmgr T2R2g
答案 D
GMm4π2
解析 地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有2＝m2r，所以M＝
rT4πr4πrGmm0gR2
，地球表面物体m0的重力来源于万有引力，有2＝m0g，所以G＝，把G代入M＝GT2Rm23
23
GT2
4πr4πrm，得M＝2＝22，故选项D正确。
2323
gR2
TmgRT2．[2015·四川高考]登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比( )
行星 地球 火星 半径/m 6.4×10 3.4×10 66质量/kg 6.0×10 6.4×10 2324轨道半径/m 1.5×10 2.3×10 1111A.火星的公转周期较小 B．火星做圆周运动的加速度较小 C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大 答案 B
解析 火星和地球都是绕太阳做匀速圆周运动，由太阳对它们的万有引力提供其做圆周
GM太m2π2
运动的向心力，可知2＝m()r，得公转周期公式T＝ rT4πr23
GM太
，对同一中心天体，
环绕天体的公转半径越大，公转周期越大，A项错误；根据公转向心加速度公式a＝
GM太
，环r2
绕天体的公转半径越大，公转向心加速度越小，B项正确；对于天体表面的重力加速度，由
GMg＝2，得g地>g火，C项错误；由第一宇宙速度公式v1＝RGM，得v1地>v1火，D项错误。 R 1
3．[2015·宜宾一诊]按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程。已在2013年以前完成。假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v＝
g0R2
B．飞船在A点处点火变轨时，动能增大 C．飞船从A到B运行的过程中机械能增大 D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间T＝π答案 A
g g0
GM，4RGMmv2
解析 飞船在轨道Ⅰ运行时，万有引力做向心力，，得v＝2＝m?R＋3R?R＋3RGMm2
又因为mg0＝2，得GM＝g0R；联立得v＝Rg0R2g0R＝，故A选项正确。飞船在A点点火4R2
变轨到较低轨道，应向前喷气，喷气过程速度变小，动能变小，故B选项错误。在Ⅱ轨道上
GMm4π2
从A到B运行的过程中只有万有引力做功，机械能守恒。飞船在Ⅲ轨道上运行时2＝m2
RTR，得T＝
4．[2015·石家庄二模]如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为( )
4πR23GM，把GM＝g0R代入，得T＝2
4πR232
g0R＝2π
R。故D选项错误。 g
2
A．sinθ B.1 sinθ
C.sinθ D. 1 sinθ
答案 C
解析 本题的关键是审出A、B连线与AO连线间何时夹角最大，经分析是OB垂直AB时，设A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，当OB⊥AB时sinθ＝。卫星绕地心做圆周
r2r1
GMmv2
运动时，万有引力提供向心力2＝m，得v＝ rr＝sinθ，故C选项正确。
GM v1
，所以A、B的线速度之比＝rv2r2
r1
5．[2015·江淮十校联考]太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0。但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动)。天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星。假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径R和周期T是(认为未知行星近似做匀速圆周运动)( )
A．T＝
t20
3
t0－T0
B．T＝
T0
t0－T0
3?t0
C．R＝R0答案 B
?T0
t0－T0
?
2
D．R＝R0t0－T02
? t0
解析 某行星实际运行的轨道周期性地每隔t0发生一次最大偏离，可知每隔t0该行星2π2πT0t0
与外侧的未知行星相距最近，则应满足(－)t0＝2π，解得：T＝，故B选项正确，
T0Tt0－T2323T2R03GMm4πT2R3T2R30t0023
A错误。由2＝m2r得T∝r，所以2＝3，所以R＝2＝22＝
rTT0R0T0?t0－T?T0
3
33t2t00R02
??，故C、D均错误。 2＝R0
?t0－T?t0－T 3