摘要
本文通过对我国近年来人口数据，采用logistic模型与Leslie模型，建立了预测未来中国在现有政策下，单独二胎政策下，放开二胎政策下人口增长的模型，以及单独二胎政策对江苏人口、经济、教育、住宅方面的影响，通过上述模型，分析人口增长的高峰问题。 问题1:预测2060年我国人口数及人口结构、以及老龄化程度. 建立logistic人口阻滞增长模型，利用1954年到2012年总人口数进行拟合，再进行预测， 将预测值与国家统计局数据进行比较，发现建立的模型预测效果良好。，运用该曲线预测2060年总人口为1616599999。人口结构以及老龄化程度采用Leeslie模型进行，使用国家统计局给出的2000年的有关数据，构造Leslie矩阵。以每5年为一个年龄段，首先预测2001至2060年各年段人数，再用预测得到数据进行分析，在以0至20为幼龄期，21至65为中青年期，65以上为老年期分别统计人数，然后对其人口数发展情况进行分析，得出幼年期：85374879人，中青年期：403771512人，老年期：627862149人.
对于老龄化程度问题，由以上数据看出老年人所占比重为,十分惊人。还可得出老年人数增长曲线，通过预测可以看出人口老龄化已经成为刻不容缓的问题，亟需出台相关政策调节人口结构，这也是开放二胎的重要原因。
问题2：建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育等)的影响。
采用Leslie改进模型：x(t?1)?Ax(t),?(t)??b。仍以国家统计局给出的2010
9i?4i年江苏省的有关数据，构造Leslie，同样以5年为一个年龄段建立矩阵A（t）。通过改变控
制变量β（t）的值达到拟合单独二胎政策的目的，从而求出之后60年江苏人口变化，人口红利的变化。在建立平均值模型，分别评估对教育、住宅的影响。即教育资源以在校人数多少来衡量，分别从教育网上查到2003年至2007年各阶段教育的在校人数，求出平均值，以此为标准，即假设江苏省教育资源稳定在这一水平。在用改进的Leslie模型计算出各个对应年龄层的人数，用上面的标准比上对应的人数，值越小，则这个阶段的教育资源越紧张，也就需要更多投入，即对教育的影响。关于住宅，通过查找资料，得到江苏2004年至2011年住宅总面积，根据这几组数据，拟合出住宅面积变化的曲线，并对之后住房面积进行预测，再用该面积比上对应年分的人数，即得那一年的人均住宅面积，比上小康水平30㎡\\人，即得住宅影响因数。通过这个数据评估对住宅的影响。
问题3:评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。
依然采用问题2的模型，根据国家统计局2010年给出的数据，构造Leslie矩阵，采用改进模型，使用单独二胎政策时，改变β的值进行预测，然后从人口结构的角度进行评估，即考虑人口老龄化，人口红利，以及抚养比，同时也预测出完全放开二胎的情况。将以上两组数据进行比较，得出是否需要开放二胎，同时与标准值相比较，推测出何时开放比较合适。 关键词：logistic人口模型 Leslie人口模型 人口增长预测 单独二胎
1. 问题重述
随着社会经济的进一步发展，我国人口面临新的问题：一方面，人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等等，要求我们需要放开计划生育的约束；另一方面，过快增长的人口对于住房、教育、环境资源等又来来更多的压力。2011月15日，《中共中央关于全面深化改革开放若干重大问题的决定》终于出台了。《决定》中关于逐步
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放开二胎的政策引起了人们的热议。目前，根据《决定》中的政策，许多省份已经逐渐放开了计划生育的约束，开始实行“单独二胎”政策，即夫妻双方有一方为独生子女，就允许生第二胎。
试请建立数学模型，解决以下问题： 1、查阅相关数据，建立数学模型，预测2060年我国人口数及人口结构、以及老龄化程度。
2、江苏省单独二胎政策于2014年3月28日起正式施行。查阅相关数据，根据江苏的实际情况，建立合理的评价体系，并建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育，医疗卫生等）的影响。
3、评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。 2、问题分析
问题1.预测2060年我国人口数，人口结构以及老龄化程度。本文分别用logistic模型与Leslie模型进行预测，然后与实际值相比较，同时两组数据也相互比较。会发现logistic模型对人口数目预测较准确，而无法得出人口结构以及老龄化程度。Leslie对人口预测偏差较大，而可以预测人口结构，故可分别取其结果，进行预测分析。
问题2.建立相应的数学模型阐明“单独二胎”对江苏（人口、经济、住宅、教育等)的影响。
首先是建立合理的模型来预测“单独二胎”政策后江苏人口变化，本文采用Leslie的改进模型进行预测，假设严格执行生育政策，通过改变其中的参数即可达到合理预测，且预测结果与预期相符。然后根据人口结构，通过人口红利可反映对经济的影响。“单独二胎”对住房、教育的影响本质上是人口变化带来的影响。于是采用人均模型进行评估。其中教育资源采用在校人数描述，在用该在校人数除以对应年龄人数表示人均教育资源占有率，住宅采用人均住宅面积表示，并引入影响度概念，通过以上两个影响度描述影响。
问题3.评估我国有没有必要完全放开二胎政策的必要？如果有必要完全放开二胎政策，请预测何时放开二胎政策比较合适。
先假设没必要，即采用问题2中的模型预测全国未来50年的人口变化，得出人口结构分布，然后通过抚养比，老龄化人口比例，人口红利进行评估，是否为有利于社会发展的人口结构。若有必要在计算完全二胎情况下，预测全国未来50年的人口变化，人口结构分布，以及抚养比，老龄化人口比例，人口红利，再选择开放二胎的时间，计算以上比例并作出图像，与合适的比例相比较，最终确定合适的开放时间，使各项指标稳定在合适范围内的时间更长。
三、问题假设
1、在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题。 2、假设在预测的过程中不发生人数骤减的情况。
3、假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化。 4、假设查得的数据真实有效。
5、在构造Leslie矩阵，设置β（t）时，假设严格执行生育政策，且执行二胎前，均满足单独二胎政策。即有一方为独生子女。
四、名词解释及符号说明
人口红利：是指一个国家的劳动年龄人口占总人口比重较大，抚养率比较低，为经济发展创造了有利的人口条件，整个国家的经济成高储蓄、高投资和高增长的局面。
生育率：指不同时期，不同地区妇女或育龄妇女的实际生育水平或生育子女的数量。 人口抚养比：人口抚养比是指总人口中非劳动年龄人数与劳动年龄人数之
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比，以百分数表示。 生育率：bi 死亡率:：di 生存率：si 总和生育率：B
五、模型建立及求解 一、问题1
阻滞增长模型（Logistic模型）
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。表示为x的函数r（x)。则它应是减函数。 于是有
dxx?rx(1?) （1） dtNx(0)?x对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，
0即 r(x)?r?sx(r?0,s?0) （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为
xm时人口不再增长，即增长率
r(x)?0，代入（2）式得s?mrx ，于是（2）式为
mxr(x)?r(1?)x （3）
m将（3）代入方程（1）得：
dxx?rx(1?)dtx （4）
mx(0)?x0解方程（4）得 x(t)?xmx1?(m?1)e?rtx0
（5）
二、模型的建立
为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据上
查到我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1。
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表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 1954 60.2 1963 69.1 1972 87.1 1981 100.1 1990 114.333 1999 125.786 1955 61.5 1964 70.4 1973 89.2 1982 101.654 1991 115.823 2000 126.743 1956 62.8 1965 72.5 1974 90.9 1983 103.008 1992 117.171 2001 127.627 1957 64.6 1966 74.5 1975 92.4 1984 104.357 1993 118.517 2002 128.453 1958 66.0 1967 76.3 1976 93.7 1985 105.851 1994 119.850 2003 129.227 1959 67.2 1968 78.5 1977 95.0 1986 107.5 1995 121.121 2004 129.988 1960 66.2 1969 80.7 1978 96.259 1987 109.3 1996 122.389 2005 130.756 1961 65.9 1970 83.0 1979 97.5 1988 111.026 1997 123.626 1962 67.3 1971 85.2 1980 98.705 1989 112.704 1998 124.761 1、将1954年看成初始时刻即t?0，则1955为t?1，以次类推，以2005年为t?51作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程（程序见附录1）得到
相关的参数，：xm?1809870737,r?0.0336.
所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：
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x(t)?18089870737180.98711?(?1)e60.2（上图点为实际统计情况,图线为拟合曲线,由
?0.0336图可得曲线拟合程度良好。）
该公式计算得x(2060)?1616599999
（6） 模型Ⅱ：按年龄分布的Leslie模型[2] 一、模型的准备
将人口按年龄大小等间隔地划分成m个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为t?0,1,2?.设在时间段t第i年龄组的人口总数为
ni(t),i?1,2,?m，定义向量n(t)?[n1(t),n2(t),?nm(t)]T，模型要研究的是女性的人口分布n(t)随t的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。 设第i年龄组的生育率为bi，即bi是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i年龄组的死亡率为di，即di是单位时间第i年龄组女性死亡人数与总人数之比，si?1?di称为存活率。设bi、si不随时间t变化，根据bi、si和ni(t)的定义写出ni(t)与ni(t?1)应满足关系：在（9）式中我们假设bi中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t以后出生而活不到t?1的那些婴儿。若记矩阵
?b1b2?bm?1bm??s?001???? （10） L??0s2??????0sm?10??0?则（9）式可写作
n(t?1)?Ln(t)
（11）
当L、n(0)已知时，对任意的t?1,2,?有
n(t)?Ltn(0)（12）
只要我们求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量n(0)，我们就可以求出t时段的人口分布向量n(t)。
二．模型建立
以2000年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据国家统计局所给数据，以5岁为间距对女性分组，这样0至99岁就分了20个组。从附录(1)中可以的得到每组的生育率b1、b2、b3......b20，通过每组的死亡率di计算存活率s1、s2、s3......s19.即si=1-di。
得到每组女性的生育率与死亡率后，就可以得到Leslie矩阵。
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