惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd.
个 性 化 教 学 设 计 教 案 授课时间： 2011 年8月 21 日（ 13：00---15：15 ） 年级： 高二 学科： 数学 课时：3 课题名称 备课时间： 2011 年 8 月 20 日 学生姓名： 授课教师： 第13讲 空间向量与立体几何 1．空间向量及其运算 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 教学目标 2．空间向量的应用 （1）理解直线的方向向量与平面的法向量。 （2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。 （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。 （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 一、利用空间向量证明空间位置关系 首先对直线与平面分别选择其方向向量和法向量来定位，再将线、面的平行问题、垂直问题转化为两个向量的平行与垂直问题． 二、利用空间向量求空间角 1．异面直线成角 异面直线成角问题是通过转化为它们的方向向量的夹角来解决的．但要注意，异面直线π成角的范围是（0，]，而两向量的夹角范围是[0，π]，异面直线方向向量的夹角 2有可能是其补角，因此，求出后要注意检验．也可直接取绝对值处理．即若两异面直线教学过程 m，n的方向向量分别是a，b，它们所成的角为θ，则有cosθ＝|cos〈a，b〉|＝2．直线与平面所成的角 直线与平面所成的角要转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角来解决．但要注意的是这个夹角的余弦值的绝对值与直线与平面所成的角的正弦值相等．如图所示，设直线PA→|PA·n|→与平面α所成的角是θ，平面α的法向量为n，则有sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝. →|PA|·|n| 第 1 页 共 12 页
|a·b|. |a|·|b| 惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd.
3．二面角 利用向量求二面角的大小，有两种方法：一种是转化为与二面角棱垂直且分别在两个面内的两个向量的夹角问题．即： 如图4－13－2所示，在二面角α－l－β中，AB，CD分别在平面α，β中，且分别垂直→→于棱l，则此二面角的大小θ的余弦值为：cosθ＝cos〈BA，DC〉． 注意两个向量的起点都要在棱上． 另一种是转化为两个平面的法向量 的夹角问题．但都要注意二面角的范围 是[0，π]，求出后也要检验． 如图4－13－3所示二面角α－l－β两个面的法向量分别是m，n，设二面角α－l－β的大小为θ，则有|cosθ|＝|cos〈m，n〉|，通常可先判断二面角的范围，再作处理，或利用法向量的指向来做判断． 图4－13－3 三、空间距离的求法 空间距离往往通过转化为空间向量的模，或通过计算向量的夹角来构造直角三角形求解．空间中线与面、面与面之间的距离往往要转化为点到平面的距离来求，求点到平面的距离是重点．其求法是：用法向量可求点到平面的距离，如图4－13－4所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，其中A∈α，则点B →|AB·n|→到平面α的距离为.(实质是AB |n|在法向量n方向上的投影的绝对值) 特别说明，上面公式不必死记， 只要结合图形，利用直角三角形边 →角关系可得BC＝AB·|cos〈AB，n〉|. 从而得上面的公式． 第 2 页 共 12 页
惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd.
1：利用空间向量证明空间位置关系 例1：如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF?FB，AB?2EF，?BFC?90?，BF?FC，H为BC的中点。 (1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC?平面EDB； (3)求二面角B?DE?C的大小。 例2：在如图4－13－5所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝2，EF＝EC＝1， (1)求证：平面BEF⊥平面DEF； (2)若M、N、P分别为AC、 EB、FB的中点，Q为MN上一 →1→→点，且PQ＝(PM＋PN)，求证： 2PQ∥平面DEF. 第 3 页 共 12 页
惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd.
2：利用空间向量求线线角、线面角 1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角 设分别为异面直线（2）线面角的方向向量，则 ?设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。 例3：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN； （Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 3：利用空间向量求二面角 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 其计算公式为：设分别为平面的法向量，则?与互补或相等， 1AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的2 第 4 页 共 12 页
惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd.
例4、如图4－13－6所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4. (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)求证AF⊥平面A1ED； (3)求二面角A1－ED－F的正弦值． 4：利用空间向量求空间距离 例5、如图4－13－7所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23. 求点A到平面MBC的距离． 5：利用空间向量解决立体几何中探索性问题 例6、如图4－13－8所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论． 第 5 页 共 12 页