静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测
数学试卷（理科）
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2013.1
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
12?sin(2ax?)的最小正周期为4?，则正实数a= . 27112．等比数列?an?（n?N*）中，若a2?，a5?，则a12? .
1621．已知函数f(x)?3．两条直线l1:3x?4y?9?0和l2:5x?12y?3?0的夹角大小为 .
x2y2??1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离4．设圆过双曲线
916是 .
5．某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有 种游览选择．
123n6．求和：Cn= .（n?N*） ?2Cn?3Cn???nCn7．设数列?an?满足当an?n2（n?N*）成立时，总可以推出an?1?(n?1)2成立．下列四个命题： （1）若a3?9，则a4?16． （2）若a3?10，则a5?25．
开始（3）若a5?25，则a4?16． （4）若an?(n?1)2，则an?1?n2．
其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）
8．已知曲线C的极坐标方程为??4sin?．若以极点为原点，极轴为xNn←0,a←1/9, s←0 s←s+aa←3*an←n+1轴的正
s>100Y输出 s结束?x?2?t,半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为?（t为参
?y?3?t?2此直线l被曲线C截得的线段长度为 . 9．请写出如图的算法流程图输出的S值 .
数），则 理第9题
1?sin??cos?1?sin??cos???2，10．已知?、?为锐角，且
sin?sin?tan?tan?= .
11．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海
A 北 N 则
O B S 南 理第11题
宝”从C 南方向
O12方向行走13米至点A处，再沿正13行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆上．则在以圆心O为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y圆心O出发，先沿北偏西arcsin向的直角坐标系中圆O的方程为 .
轴正方
12．过定点F(4,0)作直线l交y轴于Q点，过Q点作QT?FQ交x轴于T点，延长TQ至P点，使
QP?TQ，则P点的轨迹方程是 .
13．已知直线(1?a)x?(a?1)y?4(a?1)?0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数y?x?像上，则PQ连线的斜率的取值范围是 .
14．在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为?i、cos(2t?1的图x?3)?isin(2t??3)（i为虚数单位），则
??????当t由连续变到时，向量AP所扫过的图形区域的面积是 .
124二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．若复数z1z2?0，则z1z2?z1z2是z2?z1成立的（ ）
(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件
16．等差数列{an}中，已知3a5?7a10，且a1?0，则数列{an}前n项和Sn（n?N*）中最小的是（ ）
(A) S7或S8 (B) S12 (C)S13 (D)S14
x2?6x?12(x?[3,5])的值域为（ ） 17．函数f(x)?x?273cosBcosCAB?AC?2m?AO，18．已知O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C为△ABC的内角，若
sinCsinB则m的值为 （ ）
(A) [2,3] (B) [2,5] (C) [,3] (D) [,4] (A) 1 (B) sinA (C) cosA (D) tanA
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三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分．
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设M 施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴D 影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．
A N C
G E B （理19题）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，a，b，c成等比数列． （1）求B的取值范围；
（2）若x = B，关于x的不等式cos2x?4sin(
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知数列{an}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有
333(a1?a2???an)2?a1?a2???an．
?4?x?x)sin(?)+m＞0恒成立，求实数m的取值范围． 242（1）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1、a2、a3；
（2）试求出数列{an}的任一项an与它的前一项an?1间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列
{an}，使得a2013??2012？若存在，求出这样的无穷数列{an}的一个通项公式；若不存在，说明理由．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
x2y2222已知椭圆2?2?1的两个焦点为F1(?c,0)、F2(c,0)，c是a与b的等差中项，其中a、b、cab都是正数，过点A(0,?b)和B(a,0)的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；
（2）点P是椭圆上一动点，定点A1(0,2)，求△F1PA1面积的最大值；
（3）已知定点E(?1,0)，直线y?kx?t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t?0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
函数y?f(x)，x?D，其中D??．若对任意x?D，f(x)?f(x)，则称y?f(x)在D内为对等函数．
（1）指出函数y?3． 2x，y?x3，y?2x在其定义域内哪些为对等函数；
（2）试研究对数函数y?logax（a?0且a?1）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使y?logax在所给集合内成为对等函数； （3）若?0??D，y?f(x)在D内为对等函数，试研究y?f(x)（x?D）的奇偶性．