第四章 随机变量的数字特征
一、填空题：
1. 设随机变量?~B(n,p) ,且E??0.5，D??0.45，则n= , p= 。
2. 设随机变量?表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则E(?)= 。 3. 已知随机变量?的概率密度为?(x)?21?e?x2?2x?1（???x???），则
E(?)? ，D(?)? 。
4. 设随机变量?~U(a,b)，且E(?)?2，D(?)?
5. 设随机变量?,有E??10 ，D??25 ，已知 E(a??b)?0 ，D(a??b)?1 则 a= , b= , 或 a= , b= 。
6. 已知离散型随机变量?服从参数为2的普哇松分布，则随机变量??3??2的数学期望E?? 。
7. 设随机变量?1~U[0,6]，?2~N(0,2)，且?1与?2相互独立，则
21，则a? ，b? 。 3D(?1?2?2)? 。
8. 设随机变量?1,?2,?,?n独立，并且服从同一分布。数学期望为a , 方差为?，
21n令 ????i ，则 E?? ，D?? 。
ni?1 1
9. 已知随机变量?与?的方差分别为D??49 ， D??64 ， 相关系数
????0.8，则D(???)? ，D(???)? 。
10. 若随机变量?的方差为D(?)?0.004，利用切比雪夫不等式知
P???E??0.2?? 。
二、选择题：
1. 设随机变量?的函数为??a??b，（a , b为常数），且E?，D?均存在，则必有（ C ）。
A. E??aE? B. D??aD? C. E??aE??b D. D??aD??b
2. 设随机变量?的方差D?存在，则D(a??b)?（ B ）（a , b为常数）。
A. aD??b B. a2D? C. a2D??b D. aD?
3. 如果随机变量?~N(?,?2)，且E??3，D??1，则P(?1???1)?（ D ）.
A. 2?(1)?1 B.?(2)??(4) C.?(?4)??(?2) D.?(4)??(2)
4. 若随机变量?服从指数分布，且D??0.25，则?的数学期望E??（ A ）.
A.
11 B. 2 C. D. 4 24?0,?35. 设随机变量?的分布函数为F(x)??x,?1,?A.
x?00?x?1 ，则E(?)?（ B ）. x?114??1???0xdx B.
4?3xdx C. ?xdx??2010xdx D.
???03x2dx
6. 设随机变量?的期望E?为一非负值，且E(?22?1)?2 ，D(?2?1)?1，则 2 2
E??（ C ）。
A. 0 B. 1 C. 2 D.
8
7． 随机变量?与?相互独立，且D(?)?4，D(?)?2，则
D(3??2??5)?（ D ）。
A. 8 B. 16 C. 28 D. 44
8. 如果?与?满足D(???)?D(???)，则必有（ B ）。
A. ?与?独立 B. ?与?不相关 C. D??0 D. D??D??0 9. 设随机变量?与?的相关系数为????1，则（ D ）。
A. ?与?相互独立 B. ?与?必不相关 C.P??a?2?b??c?1 D. P??a??b?1
????三、计算题：
1. 设随机变量?的分布律为
求E(?)，E(?2), E(3?2?5) ，
? pk -2 0.4 0 0.3 2 0.3 D(2??1)
2．三枚硬币，用?表示出现正面的个数，试求???的数学期望E(?)。 3.
3(此种题一般为均匀分布)某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经
过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量?，求?的数学期望与标准差。
3
?Ax2,4. 设随机变量的密度函数为?(x)???0,求:（1）常数A ; (2) P???x?1，
其它??1??; (3) E(?),D(?) 2?5. 设随机变量?~?(?),且已知E[(??1)(??2)]?1，求?。
6. 设?为一个随机变量。已知E??1 ，D()?1 ，求 E(??1)2 。
?27. 设随机变量?服从指数分布，且方差D??3，写出?的概率密度，并计算
P(1???3)。
8. 已知随机变量?服从参数为1的指数分布，求随机变量望。
9. 设圆的半径?服从[0，1]内的均匀分布，求其面积?的数学期望。
????e?2?的数学期
1??2x?2,0?x?10. 设随机变量?与?的概率密度均为?(x)???，
?其它?0,若E(c??2?)?1? ，求常数c。
11. 设三台仪器出现故障的概率分别为P1，P2，P3，求出现故障的仪器数的数学期望和方差。
12. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，求10颗骰子的点数和
的数学期望与方差。 13. 设D??4 ，D??1 ，????0.6 求 D(3??2?) 。
14. 设二维随机变量（?,?）的联合概率分布为 ? ? 0 1
25 3651
360 5 361 36?,?)；求：（1）E(?)，E(?)；（2）E(??) ；（3）cov(（4）???。
4
?10?x?20?y?2?(x?y)5. 设随机变量(?,?)的密度为?(x,y)??8 ， ，
其他?0??,?)。 求E?，E?，cov(四、证明题：
设随机变量(?,?)的联合分布律为
? ? -1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8
试证?与?既不相关也不独立。
五、附加题：
x?1?cos,0?x??1. 设随机变量?的概率密度为?(x)??2 ，对?独立地重复观2?其它?0,察4次，用?表示观察值大于
?的次数，求?2的数学期望。 32. 设二维随机变量（?,?）在区域D:0?x?1，y?x内服从均匀分布，求关于?的边缘概率密度函数及随机变量??2??1的方差D(?)。
3. 设A , B 是两个随机事件，随机变量????1,若A出现，
?1，若A不出现?????1,若B出现，试证?与?不相关的充要条件是事件A , B 相互独立。
?1，若B不出现? 5