函数的奇偶性
问题研究一、判断函数的奇偶性
1、定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为__________；若对称，则再判断f(x)??f(x)或f(x)?f(?x)是否定义域上的恒等式；若f(x)??f(x)是定义域上的恒等式，则称f(x)为__________；若
f(x)?f(?x)是定义域上的恒等式，则称f(x)为__________；
4、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)是奇函数?f(x)?f(?x)?0 f(x)是偶函数?f(x)?f(?x)?0。
1、判断下列各函数的奇偶性
1 、f(x)?(x?1)
lg(1?x)|x?2|?221?x1?x； 2、 f(x)?；
3、f(x)?lg(1?x2?x)； 4、
问题研究二：奇函数性质：
1、f(x)是奇函数?f(x)的图象关于_________对称；2、奇函数在对称的单调区间内有___________的单调性;3、若奇函数定义中含零，则有f(0)=____________。4、奇函数的定义域关于_________对称。 1、（04全国）已知函数f(x)?lgA. b1?x1?x2??x?xf(x)??2???x?x(x?0)(x?0)
，若f(a)?b，则f(?a)?
C.
1b B. ?b D. ?1b
2、奇函数y?f(x)(x???2,a?)满足f(?2)?11，f(a)?（ ）
B. ?11 C. 2 D. ?2
1,，若f?x?为奇函数，则a?____________. 3、已知函数f?x??a?x2?1A. 11
4、（06江苏）已知a?R，函数f(x)?sinx?|a|,x?R为奇函数，则a? （ ）
A.0 B.1 C.?1 D.?1
5、若函数f?x?是奇函数，且方程f?x??0有三个根x1?x2?x3的值为（ ）
A.0 B.3 C.?1 D.不确定 6、 (04上海)设奇函数f(x)的定义域为??5,5?若当x??0,5?时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)?0的解是_______________
7、（08全国一）设奇函数f(x)在(0，??)上为增函数，且f(1)?0，则不等式
f(x)?f(?x)xy y?f(x)5??O2 ? x ?0的解集为（ ）
A．(?1，0)?(1，??) B．(??，?1)?(0，1) C．(??，?1)?(1，??) D．(?1，0)?(0，1)
21、已知函数y?f(x)在R是奇函数，且当x?0时，f(x)?x?2x，则x?0时，
f(x)的解析式为_______________
1
11x2、已知f(x)为R上的奇函数，当x?0时，f(x)?????3?，那么f(?2)的值为
A. 33 B. 3 C. ?3 D. 9
3、定义在(?1,1)上的函数f(x)?x?mx2?nx?1是奇函数，则常数m?____,n?_____
4、已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5，其中a,b,c,d为常数，若f(?7)??7，
则f(7)?_______ 5、（05北京西城模拟）已知函数f(x)对一切x,y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y)，
?1?求证：
f(x)为奇函数；?2?若f(?3)?a，用a表示f(12).
问题研究三：偶函数的性质
1、若f(x)为偶函数，则f(x)?f(x)，反之亦真。 2、通常取f(?1)?f(1)计算参数值。 3、偶函数图像关于_________对称。
4、偶函数的定义域关于_________对称。
5、偶函数在对称的单调区间内具有__________单调性. 典型例题： 1、已知f(x)是偶函数，x?R，当x?0时，f(x)为增函数，若x1?0,x2?0，且|x1|?|x2|，则 ( )
A.f(?x1)?f(?x2) B.f(?x1)?f(?x2) C.?f(x1)?f(?x2) D. ?f(x1)?f(?x2)2、已知函数f(x)?ax2?bx?c,x???2a?3,1?是偶函数,则a?b?________ 3、（06上海春）已知函数f(x)是定义在???,???上的偶函数.当x????,0?时，
f(x)?x?x4，则当x??0,???时，f(x)?____________ 4、（06辽宁）设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）A.f(x)?f(?x)是奇函数
B.f(x)?f(?x)是奇函数C.f(x)?f(?x)是偶函数
D.f(x)?f(?x)是偶函数
5、（07海南文）设函数f(x)?(x?1)(x?a)为偶函数，则a?___________ 练习：3
1、设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y?f(x)在x?5处的切线的斜率为（ ） A.?155 B.0 C.15 D.
2、定义在x??1?a,2?上的偶函数f(x)?ax2?bx?1在区间?1,2?上是（ ）
A.增函数 B.减函数 C. 先增后减函数 D.先减后增函数
3、已知函数f(x)?x2?ax(x?0，常数a?R).讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由。
2
函数的单调性
问题研究一、判断函数单调性常用的方法 1、定义法：
（1）任意x1,x2?D，x1?x2，都有f?x1??f?x2??_________函数 （2）任意x1,x2?D，x1?x2，都有f?x1??f?x2??_________函数 单调性的定义1的等价形式：
f?x1??f?x2?设x1,x2??a,b?，那么?0?f?x?在?a,b?是增函数；
x1?x2f?x1??f?x2?x1?x2?0?f?x?在?a,b?是减函数；
?f(x)在?a,b?是减函数
?x1?x2???f?x1??f?x2????02、导数法：
若f??x?_____0，则y?f(x)为x?D的增函数； 若f??x?_____0，则y?f(x)为x?D的减函数. 3、图像法
4、常用结论：（在公共定义域上） （1）增函数+增函数=_________ （2）减函数+减函数=__________ （3) 增函数-减函数=__________
（4）减函数-增函数=___________
5、复合函数单调性判断的方法：_____________
6、奇函数在对称的单调区间内有___________的单调性; 7、偶函数在对称的单调区间内具有__________单调性. 典型例题： 1、函数y?x2?bx?c (x?[0,??))是单调函数的充要条件是
A.b?0 B.b?0 C.b?0 D.b?0
2、函数f(x)?4x?mx?5在区间??2,???上是增函数，则f(1)的取值范围是
2A.f(1)≥25 B.f(1)?25 C.f(1)≤25 D.f(1)?25
3、若函数f(x)?x?2(a?1)x?2在区间???,4?上是减函数，则实数a的取值范围是
2A. ??3,??? B. ???,?3? C. ???,3? D. ?3,???
4、如果奇函数f(x)在区间?3,7?上是增函数，且最小值为5，那么在区间??7,?3?上（ ） A.增函数且最小值
为?5 B.增函数且最大值为?5 C.减函数且最小值为?5 D.减函数且最大值为?5
xogx5、（05年湖北）在y?2,y?l2y,?2x,?ycoxs个函数中，当0?x1?x2?1时，使这四
f(x1?x22)?f(x)?fx(12532恒成立的函数的个数是___________.
)6、已知f(x)?x?ax?bx?8，且f(-2)=10，则f(2)= ．
7.已知函数f(x)?x?(a?1)x?2a?8在(??,3]上是减函数，求a的取值范围．
3
28. 已知函数f(x)?ax?(3a?1)x?1在[?1,2]上是增函数，求a的取值范围． 9..函数f(x)?23?2x?x的递增区间是————————————————————————．
210.已知f(x)??x?2x?8，求函数f(2?x)的单调区间．
11若函数f(x)在R上的奇函数，f(1)?2,f(x?3)?f(?x)，求f(2003)的值．
12. 若函数f(x)是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（-1，0）]上是减函数，解不等式f(x?2)?f(4?x)?0．
13.函数f(x)是定义在(0,?)上的增函数，且满足f(a?b)?f(a)?f(b),f(2)?1，解不等式：f(x)?f(x?2)?3．
14.若函数f(x)是定义在(0,??)上的减函数，且f(
15.函数f(x)的定义域是R，对任意的实数x，y都有f(x)?f(y)?f(x?y)，当x?0，f(x)?0，判断函数的奇偶性与单调性．
16.设函数f(x)?
2x?1?ax，其中a?0，求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,??)上是单调递减函数．
222xy)?f(x)?f(y)，若f(3)?1，解不等式：f(x)?f(1x?8)?2．
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