集总参数法是当导热体内部热阻忽略不计时．即Bi→0时研究非稳态导热的一种方法。其实用判别条件是Bi＜0.1。这一判别式产生的依据是使整个导热体中温度的不均匀性在5％以内。此时，温度仅为时间的函数，而与空间坐标没有关系。 2．关于时间常数
在对非稳态流体温度场的测定中，时间常数常是反映测温元件精度很重要的指标之一，它表征导热体温度随流体温度变化的快慢。它不仅取决于几何参数(V/A)和物性参数(ρc)，还取决于换热条件(h)。而h是过程量，因而在不同换热条件下，时间常数是变化的，不是常数。 3．几点说明
(1)导热体外的换热条件可能是对流换热，也可能是辐射换热，还有可能是对流和辐射的偶合。当外部换热条件为辐射换热或复合换热时，应熟练掌握如何根据能量守恒建立导热微分方程。
(2)由Bi数的定义，若表面传热系数h或特征尺度(如直径d)是未知时，事先无法知道Bi数的大小。因而可以先假设集总参数法的条件成立，待求出h或d之后，进行校核。这一点是非常重要的。 1、非稳态导热过程的基本特征
非稳态导热即物体的加热或者冷却过程。它的基本特征是：
(1)导热的同时必定伴随有蓄热或释热，即导热物体热力学能的增减。
(2)同一时刻通过各个等温面的热流密度不再相等，从外表面传入、传出的热量差额即物体热力学能的净变化量。
(3)整个非稳态过程可分为初始温度分布起主要控制作用的非正规状况阶段(或叫初始阶段)，和温度变化具有特定规律的正规状况阶段。一般来说可以认为这两个阶段的分界线是傅里叶数等于0.2。从理论上讲，正规状况阶段的规律将一直持续无限长时间，因此并不存在所谓第三个阶段。
2\\集总参数分析方法(解零维问题)
(1)这是一种相对外部对流热阻而言忽略物体内部导热热阻的近似解法。一般情况下，只要满足适用条件，就可以确保5％以内的计算精度。
(2)以体积与表面积之比为特征尺寸的毕渥数B的λ指固体的导热系数。
(3)同样以体积与面积之比为特征尺寸的傅里叶数FO?a?i?hV?A??，且代表了物体内部导热热阻与外部对流热阻的相对比值。注意，毕渥数中
?VA?2代表了非稳态导热过程的无量纲时间进程。
(4)时间常数?c反映经历非稳态导热过程的物体对外界环境温度发生突变时作出反应的快慢,是动态测温的一个重要指标。
3、对流边界条件下的一维及多维非稳态导热
(1)对双面对称加热或冷却的一维物体，包括大平壁、长圆柱和球体，可以通过建立数学模型并分析求解，解的结果是一个较复杂的无穷级数之和。
(2)针对Fo>0.2的正规状况阶段，计算时可以只取上述级数的第—项。在单对数坐标中，这个阶段中的无量纲过余温度比相对傅立叶数显示出直线关系，即如海斯勒图所表示的那样。 (3)正规状况阶段是非稳态导热过程的主要阶段。它的特点直接来自上述简化的计算方法，即一维物体内任意位置的过余温度对时间的相对变化率都等于常数。该阶段中，初始温度分布的影响已经消失。 (4)可以用一维解乘积的形式计算若干特定多维物体的非稳态导热问题。 4、半无限大物体的瞬态导热
(1)半无限大物体非稳态导热分析解的应用价值在于：对实际上有限厚的均质固体来说，在所考虑的时间限度以内，以一般可以接受的工程计算精度作为依据，只要外界温度扰动尚未“穿远”整个厚度，那么在这个时间范围以内，就可以把它当作传热意义上的“半无限大物体”来处理。
(2)在工程计算和物性测试中，必须正确判断穿透厚度和穿透时间。特别注意到： (a)温度扰动的传播范围是随着时间的推移逐步变厚的。
(b)不能把穿适时间和正规状况阶段的起始时间两个概念混为一谈。
(c)无论哪一类边界条件，半无限大物体的非稳态导热过程都不存在正规状况阶段，它水远处于非正规状况阶段。 5、周期性非稳态导热
壁面温度呈周期性波动的非稳态导热问题有两个基本特征，温度波幅度的衰减和相位的滞后。分析证明，表面温度波推进一个波长时，波幅就衰减到表面波幅值的0.2％，因此可以得出结论，没有任何温度波动会深入到超过一个波长的深度。相应的表面热流波也呈现出周期性变化的规律。
1、由导热微分方程可知，非稳态导热只与热扩散率有关，而与导热系数无关。你认为对吗?
答：由于描述一个导热问题的完整数学描写不仅包括控制方程，还包括定解条件。所以虽然非稳态导热的控制方程只与热扩散率有关，但边界条件中却有可能包括导热系数λ(如第二或第三类边界条件)。因此上述观点不对。
2、无内热源，常物性二维导热物体在某一瞬时的温度分布为t＝2y2cosx。试说明该导热物体在x＝0，y=1处的温度是随时间增加逐渐升高，还是逐渐降低。
答：由导热控制方程，得：当时，，故该点温度随时间增加而升高。 3、两块厚度为30mm的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。平板两侧表面的温度突然上升到60℃，试计算使两板中心
-6-62
温度均上升到56℃时两板所需时间之比。铜和钢的热扩散率分别为103×10m2／s，12.9×10m/s。 答：一维非稳态无限大平板内的温度分布有如下函数形式：
相同，要使温度分
两块不同材料的无限大平板，均处于第一类边界条件(即Bi→∞)。由题意，两种材料达到同样工况时，Bi数和布相同，则只需Fo数相等，因此：
6
，即，而δ在两种情况下相等，因此：
二、定量计算
主要包括：列出具体物理问题的数学描写并求解；集总参数法的应用；一维非稳态导热问题的分析解(无限大平板，无限长圆柱，球)，重点是集总参数法和一维非稳态导热问题分析解的应用。
1、一块无限太平板，单侧表面积为A，初温为t0，一侧表面受温度为t∞，表面传热系数为h的气流冷却，另一侧受到恒定热流密度qw的加热，内部热阻可以忽略，试列出物体内部的温度随时间变化的微分方程式并求解之。设其他几何参数及物性参数已知。
解：由题意，物体内部热阻可以忽略，温度仅为时间的函数，一侧的对流换热和另—侧恒热流加热作为内热源处理，根据热平衡方程可得： 控制方程为：引入过于温度
上述控制方程的通解为：
，则为
；初始条件：
，
，由初始条件有：
故温度分布：
2、热处理工艺中，常用银球来测定淬火介质的冷却能力。今有两个直径均为20mm的银球，加热到650℃后分别置于20℃的静止水和20℃的循环水容器中。当两个银球中心温度均由650℃变化到450℃时，用热电偶分别测得两种情况下的降温速率分别为180℃／s及360℃／s。在上述温度范围内银的物性参数ρ＝10500kg／m，c＝2.62×10J／(kg·K)，?＝360w／(m·K)。试求两种情况下银球与水之间的表面传热系数。
解：本题表面传热系数未知，即Bi数为未知参数，所以无法判断是否满足集总参数法条件。为此．先假定满足集总参数法条件，然后验算。
(1)对静止水情形，由且故：
，
，
，
3
2
验算Bi数：
(2)对循环水情形，同理，验算此时，查图得
，故：
满足集总参数条件。
，不满足集总参数法条件。改用诺谟图。
，
。
所以短圆柱中的最低温度：
5、初温为25℃的热电偶被置于温度为250℃的气流中。设热电偶热接点可近似看成球形，要使其时间常数＝ls．问热接点的直径应为多大?忽略热电偶引线的影响，且热接点与气流间的表面传热系数为300W／(m2·K)，热接点材料的物性：=20W／(m·K)．8500kg
3
／m，c＝400J（kg·K)。如果气流与热接点间存在着辐射换热，且保持热电偶时间常数不变，则对所需热接点直径之值有何影响? 解:出于热电铜的直径很小，一船满足集总参数法条件，时间常数为故：
故热电偶直径：
验证Bi数是否满足集总参数法
m
mm ，
故满足集总参数法条件。
若热接点与气流间存在辐射换热，则总表面传热系数h(包括对流和辐射)增加，由知，保持不变时，可使V/A增加，即热接点直径增加。 一、填空题
1、立方体试件放在炉内加热，试件的_8个顶点_部位温度变化最快，原因是单位体积吸热量大(单位体积所具有的换热面积大)。 2、无限长方柱加热或冷却时，其导热过程属于_二维不稳态__导热问题，其导热微分方程式为_
_。
7
3、当Fo≥0.2时，物体中各点的冷却率m仅取决于__物性参数_、_形状尺寸_和物体表面的边界条件。
4、当导热系数λ=F(t)时，具有内热源的一维不稳态导热过程的微分方程式的形式为__。 5、判别物体是否为集总热容系统的条件是_Bi<0.1_。
6、在不稳态导热的不规则情况阶段，物体内温度分布受_初始温度分布_的影响很大，而在正常情况阶段，物体内部温度分布的特点是_按一定规律变化(或:摆脱了初始温度对温度场的影响)_。
7、当微元体dv的温度变化为dt时，其内能增加值为_ρcdvdt_。 8、判别无限大平壁是否处于正常情况阶段的依据是__Fo≥0.2_。
9、短园柱(长为L，直径为D)加热或冷却时，其导热过程属于_二维不稳态_导热问题。
10、对流换热边界条件下物体加热或冷却过程中，物体内的无因次过余温度分布θ(x,η)/θ0是_Fo,Bi和无因次座标的函数。 11、物体在加热或冷却过程中，温度分布的变化可划分为_不规则情况阶段_，_正常情况阶段_和新的稳态三个阶段。 12、判别系统在恒温介质中加热或冷却时，是否进入正常情况阶段的条件是__Fo≥0.2_______。(c)
半无限大物体：物体的一端为一无限大平面所限制，另一端伸展至无穷远处(当无限大平壁的厚度2??8a?时，可视为半无限大物体)。
1、将碎肉包装成100×100×100mm的立方体，放在冰箱内，其温度为一均匀数值，现将肉块取出放至室内，今要求出经η时间肉块的中心温度。试简单说明求解的方法和步骤，写出用一维解表示的解的形式。
答：此题属于三维不稳态导热，其解可表示为三个厚度2δ=100mm的无限大平板的一维解的乘积。其步骤为：(1)判别B?h?是否小
i?于0.1，若Bi<0.1，则为集总热容系统;若Bi?0.1，则利用图解法。(2)由Bi?h??，FO?a??2查得无限大平壁(?m?0)的值，立方
体中心温度为。 2、设某一房屋外墙处于室内气温tf1，室外气温tf2，且tf1>tf2，如果室外气温tf2突然降至tf2’，而tf1保持不变，试在t-x图上画Fo<0.2(不规则情况阶段任一时刻)，Fo=0.2(不规则情况阶段结束)和Fo>0.2(进入稳态阶段)的温度分布。 答：图略。
4、试绘出Bi→0，Bi→∞和0＜Bi＜∞时厚度为2δ无限大平壁在温度tf、对流换热系数为h的环境中冷却时，温度随时间的变化情况。
3、用图绘出无限大平壁(初始温度均匀为t0)在下述条件下加热时壁内温度分布：(1)两侧均处于恒壁温的边界条件下(tw)；(2)两侧均处于第三类边界条件下(tf、h)。 答:图略。
5、有一恒温的无限长方柱放入一介质中加热，长方柱断面尺寸为δ1×δ2，试说明求上表面中心点A温度的步骤。 答：无限长方柱的解是由两个一维无限大平壁(δ1和δ2壁厚)的解的乘积而得。查表得:温度:，所以。
6、将一厚度为L，初始温度t0的大平板放入燃烧炉内加热，设炉内气体与试件的对流热系数为h，燃烧炉内温度为tf，炉墙温度为tw，试件与炉墙系统的相当发射率为ε，试写出试件受热过程微分方程式及其单值性条件。 答：
，η=0，θ=θ0=t0-tf；x=0，
；
，两者相乘即可求得A点的
8、某一汽车后窗的去霜器是用浇铸在玻璃中且均匀分布的高电阻导线做成的。通电时玻璃内部是均匀发热的，产生的热量从窗的内、外表面通过对流传走，但内侧对流换热系数h。在同一个坐标系中画出去霜器接通之前和接通一段时间后玻璃中的稳态温度分布示意图。 答：如图所示。
接通前温度分布为：tf1→tw1’→tw2’→tf2；接通足够时间后的稳态温度分布为：tf1→tw1”→tw2”→tf2。 9、一块被烧至高温(超过400℃)的红砖，迅速投入一桶冷水中，红砖自行破裂，试简单解释其原因。
8
答：高温砖放入水中，水在砖面沸腾，换热系数λ很大，而砖的导热系数和导温系数都小，故→∞，且砖的温度场极不均匀，产生很大的热应力而使砖破裂。(表面急剧冷却)。 10、什么是集总参数法？
答：不稳态导热的物体当Bi<0.1时，可近似地认为物体的温度是均匀的，这种认为物体温度均匀一致，即忽略物体内部导热热阻的分析方法称为集总参数法。
11、物体的加热或冷却过程中温度分布变化的三个阶段的特点是什么？
答：第一阶段是过程开始的一段时间，温度变化从边界面逐渐地深入到物体内部，各处变化率不一样，温度分布受初始温度分布的影响很大，称为不规则情况阶段。随着时间的推移，初始温度分布的影响逐渐消失，进入第二阶段，各处的温度随时间的变化率具有一定的规律，称正常情况阶段。第三阶段是新的稳态阶段，理论上需要经过无限长时间才能达到。
第四章、热传导问题的数值解法
一、物理问题及数学描写
对物理问题忽略次要矛盾，抓住主要矛盾进行合理的简化后，利用能量守恒定律及傅里叶定律等对物理问题的微元体列出相应的方程，得出正确的数学描写(方程及边界条件、初始条件等)。这是数值解正确与否的前提。导热微分方程式是导热问题的通式，具体导热问题可作相应简化，如是否有内热源，是否常物性，是否稳态，问题的维数(一维，二维还是三维)等等。至于边界条件和初始条件的数目，亦与具体问题有关，一般地讲，某一变量(对导热问题，如温度t)在某一坐标或时间方向(如x或η)所需边界条件的数目，是该变量在该方向最高阶导数的阶数。如对形如
的二维导热问题，在x，y方向各需两个边界条件。
二、节点离散方程的建立
重点应掌握用热平衡方法获得节点的离散方程。其本质是对节点所代表的控制容积采用傅里叶定律及能量守恒定律。在实际运用此法时应注意以下各点：
(1)该问题是否有内热源？如有应将内热源强度由与节点所代表的控制容积体积相乘，一般将内热源处理成加给控制容积的热量； (2)注意边界条件的性质，一般有等温、等热流、绝热和对流等形式。对上述各种不同形式的边界节点列热平衡方程时，应注意热量作用的面积。
(3)对稳态问题，所有进入控制容积的热量之和为零；对非稳态问题，则进人控制容积的热量等于该容积在微元时刻的热力学能增量。
(4)对边界条件为第一类时的导热问题，只有内节点离散方程，而无边界节点离散方程。
(5)对流边界节点；而对绝热边界节点qw=0。 (6)对曲线边界，用阶梯形的折线来模拟真实边界。 三、导热量的计算
以图所示的二维无内热源稳态导热问题，采用直角坐标为例，假定i和j方向各有L和M个节点，则通过矩形区域左边界(即i=1)的热流量可分别从导热和对流换热的角度加以计算。
从导热的傅里叶定律角度：
而从对流换热角度，则有：
注意两式相比，没有计及两个角点的导热量，其原因是两个角点(1，1)和(1，M)的控制容积没有直接与内节点相连的公共部分，因而导热量为零。当节点数趋于无穷大时，显然两角点的影响将可忽略不计。
四、非稳态导热数值解法
(1)应注意非稳态导热数值解法在数值处理方法上与稳态导热的不同之处。①由于非稳态导热引入了非稳态项，因而在处理上除应对空间坐标进行离散外，还应对时间坐标进行离散。②温度不仅是空间的函数，而且是时间的函数。在每—处理时层上，相当于求解—个稳态导热问题。③对时间项(非稳态项)的离散还存在两种不同的格式，即显式格式与隐式格式。
(2)采用隐式格式求解非稳态导热问题时，不存在稳定性问题。而采用显式格式时．则有稳定性条件。因为在方程离散过程中对时间项的一阶导数采用向前差分，从而导致离散方程系数可能出现负值。
内节点稳定性要求，则在相同的空间坐标网格(即△x)下，必须采用较小的时间网格步长△η，而△η的减小则意味着计算工作量的大大增加。同时，边界节点对时间网格步长的要求比内节点更加苛刻。
第五.六章、对流换热
1、对流换热是一种非常复杂的物理现象。它的热流速率方程即牛顿冷却公式。对流换热问题的求解归根结底围绕着如何得到各种不同情况下的表面传热系数，它有局部值和平均值之分。
影响单相流体对流换热强弱的主要因素有流体的流动状态、发生流动的原因、流体的各项有关物性以及表面的几何形状等。 2、边界层理论在研究对流换热现象时扮演了极重要的角色。边界层概念归根结底就是从数量级的观点出发，忽略主流中速度和过余温度1％的差异。速度边界层和温度边界层的基本观点可以概括地总结为以下的基本内容(针对沿平壁的外部流动)：
9
(1)速度从零变化到几乎等于主论速度主要发生在紧贴壁面的薄层内：壁面上具有速度梯度的最大值；在壁面法线方向上，讨以把流场划分成边界层区和主流区，主流可视为等速、无粘性的理想流体；壁面法线方向上不存在压力梯度；在沿壁曲方向上流体依次为层流、过渡流和湍流状态。
(2)温度的变化与速度相似(但必须以过余温度，而不是来流温度作为衡量的基准)，过余温度99％的变化发生在薄薄的热边界层内；壁面上具有最大的过余温度梯度(该值即代表Nu数)；在壁面的法线方向上将流场分为热边界层区和等温的主流区，流体与壁面之间的热量传递仅发生在热边界层区里。
3、二维、低速、常物性、无体积力、无内热源的边界层对流换热微分方程组是通过对流场中的任意流体微元分别作质量、动量和能量平衡，并针对高雷诺数按照普朗特的边界层理论进行简化以后得出来的。而对流换热过程微分方程则揭示了流体与壁面之间对流换热的物理本质。
4、边界层对流换热问题的主要求解方法有分析解、实验解、类比方法以及数值解法。 分析解：只能在若干假设条件下求得一些简单问题的解。
实验解：是解决工程对流换热问题不可缺少的基本手段。应当在相似理论指导下才能得到正确有效的结果。
类比方法：建立在流体动量与热量传递规律的相似性上，无论层流还是湍流，只要流动阻力来自流体的分子粘性和湍流“粘性”，均可以运用类比关系通过摩擦系数直接得到对流换热的表面传热系数。对于外部流动和内部流动，最主要的两个类比率关系式是；适用条件：；；适用条件：
数值解：通过对边界层微分方程组进行离散化处理求得各节点上流体的速度、温度和压力参数的数值求解方法。由于动量方程中存在非线性的对流项及压力梯度项，使对流换热的数值处理比导热复杂很多。
5、相似理论与相似准则数相似原理是指导用实验方法研究包括对流换热在内的很多工程技术问题的方法理论。它的主要内容可以概括为相似三定理，它们分别回答了实验研究中遇到的四个主要问题：
(1)彼此相似的现象，其对应点的同名相似准则数相等。
实验中模型应该如何选取，应该测量哪些量？模型应保证与实物物理现象相似，应测量相似准则数中所包含的各个物理量，其中的物性由定性温度确定。
(2)描述物理过程的微分方程积分结果可以用相似准则数之间的函数关系来表示。 实验结果应该怎么表示?应该用准则数关联式的形式来表示。
(3)凡同类现象，若同名已定准则数相等．且单值性条件相似，那么这两个现象必定相似。 相似准则数的定义与物理解释 6、掠过平板的强迫对流换热
应注意区分层流和湍流两种流态(一般忽略过渡流段)，恒壁温与恒热流两种典型的边界条件，以及局部Nu数和平均Nu数。具有末加热起始段的换热对某些工程问题有重要的应用价值。
主要包括对流换热影响因素；边界层理论及分析；理论分析法（对流换热微分方程组、边界层微分方程组）；动量与热量的类比；相似理论；外掠平板强制对流换热基本特点。
1、由对流换热微分方程hx????tx??t??????y??知，该式中没有出现流速，有人因此得出结论：表面传热系数h与流体速度场无关。
y?0试判断这种说法的正确性?
答：这种说法不正确，因为在描述流动的能量微分方程中，对流项含有流体速度，即要获得流体的温度场，必须先获得其速度场，“流动与换热密不可分”。因此表面传热系数必与流体速度场有关。
2、在流体温度边界层中，何处温度梯度的绝对值最大?为什么?有人说对一定表面传热温差的同种流体，可以用贴壁处温度梯度绝对值的大小来判断表面传热系数h的大小，你认为对吗?
答：在温度边界层中，贴壁处流体温度梯度的绝对值最大，因为壁面与流体间的热量交换都要通过贴壁处不动的薄流体层，因而这里换热最剧烈。由对流换热微分方程hx????t??????y????tx??t??????y??，对一定表面传热温差的同种流体λ与△t均保持为常数，因而可用
y?0绝对值的大小来判断表面传热系数h的大小。
y?03、简述边界层理论的基本论点。
答：边界层厚度δ、δt与壁的尺寸l相比是极小值； 边界层内壁面速度梯度及温度梯度最大；
边界层流动状态分为层流与紊流,而紊流边界层内,紧贴壁面处仍将是层流,称为层流底层；
流场可以划分为两个区：边界层区（粘滞力起作用）和主流区，温度同样场可以划分为两个区：边界层区（存在温差）和主流区（等温区域）；
对流换热热阻主要集中在热边界层区域的导热热阻。层流边界层的热阻为整个边界层的导热热阻。紊流边界层的热阻为层流底层的导热热阻。
4、试引用边界层概念来分析并说明流体的导热系数、粘度对对流换热过程的影响。
答：依据对流换热热阻主要集中在热边界层区域的导热热阻。层流边界层的热阻为整个边界层的导热热阻。紊流边界层的热阻为层流底层的导热热阻。导热系数越大，将使边界层导热热阻越小，对流换热强度越大；粘度越大，边界层（层流边界层或紊流边界层的层流底层）厚度越大，将使边界层导热热阻越大，对流换热强度越小。
5、确定对流换热系数h有哪些方法?试简述之。
答：求解对流换热系数的途径有以下四种:(1)建立微分方程组并分析求解___应用边界层理论,采用数量级分析方法简化方程组,从而求得精确解,得到了Re,Pr及Nu等准则及其准则关系,表达了对流换热规律的基本形式。(2)建立积分方程组并分析求解___先假定边界层内的速度分布和温度分布然后解边界层的动量和能量积分方程式求得流动、热边界层厚度,从而求得对流换热系数及其准则方程 10